Долей секрета является плоскость
Для восстановления секрета необходимо решить систему, состоящую из m уравнений плоскостей, которые являются легальными долями секрета.
Пример 1. Создание и восстановление секрета по (3,4)-пороговой схеме Блэкли.
Выполним подготовительные шаги. Пусть секретом х0 является значение 5. Выберем простое число р, превышающее значение секрета: р=7, и еще две координаты секретной точки Плоскости, уравнения которых, будут выданы участникам протокола, будут пересекаться в точке Q = (5, 1, 2).
Вычислим доли секрета для участников протокола. Для каждого из участников будем случайно выбирать два числа затем вычислим значение свободного члена уравнения по формуле

Секретом для каждого участника будет тройка (а, b, c), которую также можно записать как уравнение плоскости z = ax+by+c.
Итак, вычислим долю секрета для Алисы: а=5, b=2, c=2-5*5-2 (mod 7)=-25 (mod 7)=-4 (mod 7)=3 (mod 7); z=5x+2y+3.
Секрет для Боба: а=-5, b=-2, c=2+5*5+2*1 (mod 7)=29 (mod 7)=1; z=-5x-2y+1.
Секрет для Кэрол: а=2, b=-6, c=2-2*5+6*1 (mod 7)=-2 (mod 7)=5; z=2x-6y+5.
Секрет для Дейва: а=4, b=2, c=2-4*5-2*1 (mod 7)=1; z=4x+2y+1.
Для восстановления секрета используем доли Алисы, Боба и Дейва. Из секретов этих участников составим систему уравнений и решим ее. Искомым секретом будет найденное значение х.

Пример 2. Восстановления и создания секрета по схеме Блэкли.
Ситуация: вы – Мэллори, сумевший втереться в доверия трех легальных владельцев секрета (3,n)-пороговой схемы Блэкли. Участники протокола огласили значение своих долей (Алиса: z=x-y+6, Боб: z=-6x+3y+2, Кэрол: z=3x+4y+9, р=11), теперь вам нужно срочно вычислить «правильную» долю секрета, чтобы вас приняли за Дейва – доверенного участника протокола.
Сначала в кольце Z11 решим систему уравнений и вычислим секрет, а затем сгенерируем достоверную долю.

Координаты секретной точки Q вычислены, далее по формуле вычислим легальную секретную долю для случайно выбранных значений а=5, b=8:

Ответ: z=5x+8y+3.