Тема №9.

Логарифмы.

1º.  Логарифмом числа b по основанию a (где ) называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить число b.

            Логарифм числа b по основанию a обозначается символом log_ab. В записи log_ab число a называют основанием логарифма, число b – логарифмируемым числом.

            Равенство  означает, что .

            2º. Основным логарифмическим тождеством называется равенство , которое справедливо при .

            Например, .

            3º. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg вместо log₁₀. Логарифм по основанию e (e=2,712828…) называется натуральным логарифмом и обозначается ln вместо log_e.

4º. Основные свойства логарифмов:

1) ;

2) ;

3)  (логарифм произведения), где ;

4)  (логарифм частного), где ;

5)  (логарифм степени), где ;

Замечание. Если b<0, а p – четное целое число, то справедлива формула:

6)  (формула перехода к другому основанию логарифма).

В частности, .

            Пример 29. Найти .

            Решение: Воспользуемся основным логарифмическим тождеством и свойством «логарифм степени».

.

            Пример 30. Вычислить .

Решение: Для решения данного примера необходимо использовать все свойства логарифмов:

.

            Пример 31. Вычислить .

Решение: Для решения данного примера используются все свойства логарифмов, а также основное логарифмическое тождество:

.

Ответ: 19.

            Пример 32. Найти , если и .

            Решение: Разложим числа 168, 54, 24 и 12 на множители:

. Полагая  и , выразим через x и y все логарифмы, содержащиеся в условии:

;

;

.

Согласно условию для определения x и y получаем систему уравнений:

,     решая которую находим, .

Подставим найденные значения x и y в равенство для определения , получим ответ: .

            5º. Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных.

            Потенцирование – это преобразование, обратное логарифмированию.

            Пример 33. Дано , где .

Найти выражение для x.

            Решение: Потенцируя, получим:

,     .

Дидактический материал.

Вычислите:

1. ;     2. ;    3. ;       4. ;

5. ;   6. ;              7. ;

8. ;         9. ;                      10. ;

11. 12. .

13. Прологарифмируйте по основанию 3 выражение .

14. Прологарифмируйте по основанию 5 выражение .

15. Прологарифмируйте по основанию 4 выражение .

16. Вычислите x, если .

17. Вычислите x, если .

Вычислите значение выражения:

18.           при ;

19.      при ;

20.         при ;

21.     при .

Упростите выражение:

22.

23. ;

24. ;                              25. .

26. Известно, что . Найдите .

27. Найдите значение выражения , если .

28. Найдите значение выражения , если .

29. Найдите значение выражения , если .

30. Найдите значение выражения , если .

Найдите значение функции:

31.             при ;

32.         при .