|
Тема
№8.
Показательные
неравенства.
1º. Неравенство, содержащее
переменную в показателе степени, называется показательным
неравенством.
2º. Решение показательных неравенств вида  основано на следующих
утверждениях:
если  , то неравенство  равносильно  ;
если  , то неравенство  равносильно  .
При решении показательных неравенств используют те же приемы, что и при
решении показательных уравнений.
Пример 26. Решить неравенство  (методом перехода к одному основанию).
Решение: Так как  , то заданное
неравенство можно записать в виде:  . Так как  , то данное неравенство равносильно неравенству  .
 .
Решив
последнее неравенство, получим  .
Ответ:  .
Пример 27. Решить неравенство:  (методом вынесения
общего множителя за скобки).
Решение: Вынесем за скобки в левой
части неравенства  , в правой части неравенства
 и разделим обе части
неравенства на (-2), поменяв знак неравенства на противоположный:
 .
Так как  , то при переходе к неравенству показателей знак
неравенства
опять меняется на противоположный. Получаем  . Таким образом, множество всех решений данного неравенства
есть интервал  .
Ответ:  .
Пример 28. Решить неравенство  (методом введения новой переменной).
Решение: Пусть  . Тогда данное неравенство примет вид:  или  , решением которого является интервал  .
Отсюда  . Поскольку функция  возрастает, то  .
Ответ:  .
Дидактический
материал.
Укажите множество решений
неравенства:
1.  ; 2.
 ; 3.
 ;
4.  ;
5.
 .
6. При каких значениях x точки графика функции  лежат ниже прямой  ?
7. При каких значениях x точки графика функции  лежат не ниже прямой ?
Решите неравенство:
8.  ; 9.
 ; 10.  ;
11.  ; 12.
 .
13. Укажите наибольшее целое
решение неравенства  .
14. Найдите произведение
наибольшего целого и наименьшего целого решений неравенства  .
Решите неравенство:
15.  ; 16.
 ; 17.  ;
18.  ; 19.
 ; 20.  ;
21.  ; 22.
 ; 23.  ;
24.  ; 25.
 ; 26.  .
Найдите область определения
функции:
27.  ; 28.
 .
29. Найдите множество значений
аргумента, при которых значения каждой из функций больше 3:
 и  .
Ответы: 11. 3; 12. 3; 13. -3; 14. 1; 15. (0; 0,5); 16. [1,5; 5];
17. (-1; 0)U(3; 4); 18.
[-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1);
21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25.
(0; 2];
26. (3; 3,5)U
(4; +∞); 27. (-∞; 3)U{5};
28. [2; +∞); 29. (-∞; log5(5 -5)).
|
