Тема №7.

Показательные уравнения. 

7.2. Классификация показательных уравнений.

1. Уравнения, решаемые переходом к одному основанию.

            Пример 18.  Решить уравнение .

Решение: Воспользуемся тем, что все основания степеней являются 

степенями числа 5:

.

2. Уравнения, решаемые переходом к одному показателю степени.

            Эти уравнения решаются преобразованием исходного уравнения к виду , которое использованием свойства пропорции приводится к простейшему.

Пример 19. Решить уравнение:

            Решение:

.

3.      Уравнения, решаемые вынесением общего множителя за скобки.

Если в уравнении каждый показатель степени отличается от другого

на некоторое число, то уравнения решаются вынесением за скобки 

степени с наименьшим показателем.

Пример 20. Решить уравнение .

Решение: Вынесем в левой части уравнения степень с наименьшим 

показателем за скобки:

.

Пример 21. Решить уравнение

Решение: Сгруппируем отдельно в левой части уравнения слагаемые, 

содержащие

степени с основанием 4, в правой части – с основанием 3, затем 

вынесем степени с наименьшим показателем за скобки:

.

4.      Уравнения, сводящиеся к квадратным (или кубическим) уравнениям.

К квадратному уравнению относительно новой переменной y сводятся 

уравнения:

а) вида  подстановкой , при этом ;

б) вида  подстановкой , при этом .

            Пример 22. Решить уравнение .

            Решение: Сделаем замену переменной  и решим квадратное 

уравнение:

.

Ответ: 0; 1.

5.       Однородные относительно показательных функций  уравнения.

            Уравнение вида  является однородным 

уравнением второй степени  относительно неизвестных a^x и b^x . Такие 

уравнения сводятся предварительным делением обеих частей на и 

последующей подстановкой 

 к квадратным уравнениям.

            Пример 23. Решить уравнение .

            Решение: Разделим обе части уравнения на :

.

Положив , получим квадратное уравнение  

с корнями .

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений  

. Из первого уравнения находим, что . 

Второе уравнение не имеет корней, так как  при любых значения x.

Ответ: -1/2.

6.      Рациональные относительно показательных функций уравнения.

Пример 24. Решить уравнение .

Решение: Разделим числитель и знаменатель дроби на 3^x и 

получим вместо двух – одну показательную функцию:

7.      Уравнения вида .

Такие уравнения с множеством допустимых значений (ОДЗ), 

определяемым условием , логарифмированием обеих 

частей уравнения приводятся к равносильному 

уравнению , которые в свою очередь 

равносильны совокупности двух уравнений  

или .

Пример 25. Решить уравнение: .

Решение:

.

Дидактический материал.

Решите уравнения:

 1. ;          2. ;                   3. ;

4. ;        5. ;              6.;

7. ;                     8. ;

9. ;      10. ;            11. ;

12. ;                  13. ;

14. ;                         15. ;

16. ;                             17. ;

18. ;               19. ;

20. ;             21. ;

22. ;         23. ;

24. ;                       25. .

26. Найдите произведение корней уравнения .

27. Найдите сумму корней уравнения .

Найдите значение выражения:

28. , где x₀ – корень уравнения ;

29. , где x₀ – целый корень уравнения .

Решите уравнение:

30. ;

31. ;          32. .

Ответы: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5. 0; 6. 0; 7. -2; 8. 2; 9. 1, 3; 10. 8; 

11. 5; 12. 1; 13. ¼; 14. 2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17. 0; 18. 1; 19. 0; 20. -1, 0; 

21. -2, 2; 22. -2, 2; 23. 4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27. 3; 28. 11; 29. 

54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .