Тема №6.

Иррациональные уравнения.

1º.  Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

При решении иррациональных уравнений применяют 2 метода: метод возведения в степень обеих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).

2º. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение 

к виду ;

б) возводят обе части полученного уравнения в n-ую степень: ;

в) учитывая, что , получают уравнение  и решают его.

            3º. Следует учитывать, что при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. В этом случае обязательна проверка найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение.

            Пример 16. Решить уравнение .

            Решение: Преобразуем уравнение к виду  и возведем обе части его в квадрат. Получим:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

Откуда получим:

            Проверка:

1) При x=5 имеем: . Таким образом, x=5 является корнем заданного уравнения.

2) . 

Таким образом, x=197 – посторонний корень.

Ответ: 5.

4º.  Метод замены переменной продемонстрируем на примере.

Пример 17. Решить уравнение .

Решение: Область определения уравнения:  Пусть , тогда  

Поэтому  

Отсюда:

1)

 Получили неверное числовое равенство, 

значит, в этом случае нет корней.

2)

Ответ: -8/7.

Дидактический материал.

Решите уравнения:

1. ;                           2. ;

3. ;                            4. ;

5. ;                          6. ;

7. ;                         8. ;

9. ;                                      10. .

Найдите наименьший корень уравнения:

11. ;                               12. ;

13. .

Найдите произведение всех корней уравнения:

14. ;               15. .

Решите уравнения:

16. ;                           17. ;

18. .