Неравенства с одной переменной (часть II).

                         5.1. Неравенства, содержащие знак модуля.

 1º.  При решении неравенств, содержащих неизвестные под знаком 

модуля, используется определение модуля, что приводит 

к рассмотрению двух случаев:

а) f(x) ≥ 0, тогда |f(x)| = f(x);

б) f(x)<0, тогда |f(x)| = -f(x).

  2º. При решении неравенств вида |f(x)| < a или |f(x)| > b полезно 

использовать следующие соотношения:

1)      неравенство вида |f(x)| < a (или |f(x)| ≤  a), где a > 0, 

равносильно двойному неравенству –a < f(x) < a (или –a ≤ f(x) ≤ a);

2)      неравенство вида |f(x)| > b (или |f(x)| ≥ b), где b > 0, равносильно 

совокупности двух неравенств  

.

3º. Для решения неравенств вида |f(x)| > |g(x)| используют метод 

возведения в квадрат обеих частей неравенства:

Пример 13. Решить неравенство .

Решение: Возведя обе части неравенства в квадрат, 

получим неравенство, равносильное данному: . 

Преобразовав последнее неравенство, получим , 

откуда находим: x ≤ - 2 , x ≥ 0.

Ответ: .

4º. Для решения неравенств вида

 часто применяют 

«метод промежутков». Находят ОДЗ неравенства, затем находят 

корни совокупности уравнений .

Эти корни разбивают ОДЗ на некоторое число промежутков.

На каждом промежутке |f_i(x)|=f_i(x) или |f_i(x)|=-f_i(x), i=1,2,…,n. Поэтому на 

каждом из них данное неравенство заменяется на другое 

неравенство, уже не содержащее знаков модуля и равносильное

данному неравенству на этом промежутке. Затем решают полученные 

неравенства (каждое на своем промежутке). Объединение всех найденных 

решений дает решение исходного неравенства.

            Пример 14. Решить неравенство.

Решение:

Решение первой системы: ; второй: ; третьей: 

. Объединяя, получим .