Тема №4.

Степени и корни.

                              4.2. Метод интервалов.

1º. Если дискриминант квадратного трехчлена D > 0 или D = 0, то квадратное неравенство  можно переписать в виде  или , где x₁ и x₂ – корни квадратного трехчлена, и использовать для его решения метод интервалов.

         2º. Для решения любых алгебраических уравнений вида 

(1) или вида 

(2) ,  где x₁, x₂, …, x_n – действительные числа, удовлетворяющие условию x₁ <  x₂ < …< x_n, а k₁, k₂, …, k_n – натуральные числа, применим обобщенный метод интервалов.

            Суть его состоит в следующем: на координатной оси отмечают числа x₁, x₂, …, x_n, в промежутке справа от x_n ставят знак +,

затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередную точку x_i меняют знак, если k_i - нечетное число и сохраняют знак, если  k_i - четное число. Тогда множеством решений неравенства (1) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак +, а множеством решений неравенства (2) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак – .

            Замечание. Обобщенный метод интервалов справедлив и для целых рациональных неравенств P(x) > 0 или Q(x) ≥ 0, и для дробно-рациональных неравенств  или , причем последние равносильны неравенству  и системе  соответственно, где 

P(x), Q(x) – некоторые многочлены.

            Пример 11. Решить неравенство .

Решение: Находим корни квадратного трехчлена :

    Данное неравенство равносильно следующему неравенству: . 

Применяя метод интервалов к последнему неравенству, получим множество всех решений неравенства – отрезок [-2; 3].

Ответ: .

            Пример 12. Решить неравенство .

Решение:

Находим корни числителя и знаменателя:

Указанная система равносильна следующей системе:

Нанесем найденные корни на числовую прямую. В интервалах справа налево расставим знаки плюс и минус.

Множеством всех решений данного неравенства является объединение промежутков, в которых поставлен знак минус.

Ответ: .

Дидактический материал.

Решите неравенства:

1. ;                              2. ;

3. ;                        4. .

Решите системы неравенств:

5. ;                                 6. .

Найдите  целые решения системы неравенств:

7. ;                            8. .

Решите неравенства:

9. ;       10. ;         11. ;

12. ;                                     13. ;

14. ;                       15. ;

16. ;                      17. ;

18. ;                          19. ;

20. ;         21. ;                     22. ;

23. ;                          24. ;           

25. ;                   26. ;

27. ;              28. ;           29. ;

30. ;           31. ;      32. .