Тема №4.

Неравенства с одной переменной (часть I).

 4.1. Решение линейных и квадратных неравенств.

1º.  Решить неравенство с одной переменной – значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным. 

Элементы этого множества называются решениями неравенства.

Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают. Равносильность неравенств обозначается так: .

2º. Линейным неравенством называется неравенство вида

, где.
Если a > 0, то 

Если a < 0, то .

           
Пример 9. Решить неравенство, сводящееся к линейному:

.

Решение: Раскрыв скобки, получим:

.

Ответ:

3º.  Квадратным неравенством называется неравенство вида (или ), где а ≠ 0.

При решении квадратного неравенства  в зависимости от знака дискриминанта  могут представиться 3 варианта:

1) Если D < 0, то график квадратного трехчлена  не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a > 0 и ниже ее при a < 0. В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором – пустое множество.

2) Если D > 0, то график квадратного трехчлена пересекает ось Ох в точках х₁ и х₂ (x₁ < x₂), являющихся корнями уравнения . Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка (-∞; x₁), (x₁; x₂), 
(x₂; +∞). Если a > 0, то решением неравенства является множество . Если a < 0, то решением неравенства является множество (x₁; x₂).

3) Если D = 0, то график квадратного трехчлена касается оси Ох в точке х₁, являющейся единственным корнем уравнения . При a < 0 решением неравенства будет пустое множество, при a > 0 – множество  .

Пример 10. Решить неравенство .

Решение: Рассмотрим функцию . Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как a = -3 < 0.

Решим уравнение  или . Корни этого уравнения . Изобразив схематически параболу

, найдем, что y < 0  в каждом из промежутков (-∞; 1/3), (3; +∞).

Ответ: .