Тема №2.
Уравнения.
Модуль числа
2.5
Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
1º.
Модуль
(абсолютная величина) числа а
определяется следующим образом:
 .
Геометрический смысл
модуля: |a|
есть расстояние от точки числовой оси, изображающей данное
число а, до начала отсчета - точки О, а |x-a|
есть расстояние между точками числовой оси,
соответствующими числам х и а.
2º.
Уравнения вида 
можно решать
геометрически.
Рассмотрим
аналитические способы решения уравнений,
содержащих переменную под знаком модуля, на примерах.
При
решении уравнений важно уметь в соответствии с
определением модуля освободиться от вертикальных скобок.
Например,
 ,
если a
≥ 5;
 ,
если a
< 5.
Пример
4. Решим уравнение  ,
используя определение модуля числа.
Решение:
Уравнение имеет решение, если x+1≥0,
т.е. x≥-1.
 .
Условие x≥-1
выполняется в обоих случаях.
Ответ:
4; 2/3.
Пример 5. Решим
уравнение  ,
используя свойство
модулей
(«модули противоположных чисел
равны»).
Решение:
 .
1)
|2x+1|=7 => 2x+1=7 или 2x+1=-7
=> x=3 или x=-4
2)
|2x+1|-3=-4 => |2x+1|=-1
– нет решений.
Ответ:
3; -4.
Пример 6. Решим уравнение
 ,
рассматривая решения на интервалах.
Решение:
Найдем нули модулей, т.е. такие значения x, при которых  и  :
 .
Рассмотрим уравнение на
интервалах
(-∞; -2), [-2; -1), [-1; +∞).
а)
Для  уравнение примет
вид:
-(x+1)-(x+2)=2; -x-1-x-2=2; -2x=5; x=-2,5;
 => x=-2,5
– корень уравнения.
б)
Для уравнение примет
вид:
-(x+1)+(x+2)=2; -x-1+x+2=2; 0·x=1- нет корней.
в)
Для  уравнение примет
вид:
x+1+x+2=2; 2x=-1;
x=-0,5;
=> x=-0,5
– корень уравнения.
Ответ:
-2,5; -0,5.
Дидактический
материал.
Решите
уравнения,
сводящиеся к линейным:
1.
 ;
2.  ;
3.
 ;
4.
 ; 5.
 ;
6.  ;
7.  ;
8.
 ;
9.  ;
10.
 ;
11.
 .
Решите
квадратные
уравнения:
12.
 ;
13.  ;
14.
 ; 15.
 ;
16.
 .
Разложите
на линейные
множители:
17.
 ;
18.  ;
19.  ;
20.
 ;
21.  .
Сократите
дроби:
22.
 ;
23.  ;
24.  ;
25. ;
26.  ;
27.
 .
Упростите
выражение:
28.
 ;
29. 
Найдите
среднее
арифметическое всех действительных корней уравнения:
30.
 ;
31.  ;
32.
 ;
33.  ;
34.
 ; 35. ;
36.  .
Найдите
расстояние от
вершины параболы до точки М:
37.
 ;
38.  ;
39.
 ;
39.  .
Постройте
график
функции:
40.
 ; 41. ; 42.
 ;
43.
 ;
44.  ; 45.
 ;
46.
 ; 47.
 ; 48.
 ;
49.  ; 50.
 ; 51.
 .
52.
По графику квадратичной
функции определить знаки ее коэффициентов и их суммы:
Найдите
рациональные
корни уравнения:
53.
 ; 54.
 ;
55.  ;
56.
 ;
57.  ; 58.
 ;
59.
 ; 60.  ;
61.  .
Решите
уравнения:
62.
 ; 63.
 ;
64.  ;
65.
 ; 66.
 ;
67.  ;
68.
 ; 69.
 ;
70.
 ;
71.  ; 72.
 .
|
