Тема №12.

Решение геометрических задач. 

12.2.Стереометрия. Многогранники.

1º. Призмой называется многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников (оснований), расположенных в параллельных плоскостях, и параллелограммов (боковых граней), число которых равно числу сторон оснований.

Если l – длина бокового ребра, P – периметр основания, S_осн – площадь основания, S_сеч – площадь перпендикулярного сечения; S_бок – площадь боковой поверхности, V – объем, H – высота, то:

2º. Прямой называется призма, если ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Прямая призма называется правильной, если в ее основаниях лежат правильные многоугольники.

3º. Прямоугольным параллелепипедом называется прямая призма, основания которой – прямоугольники.

Если a, b, c – измерения параллелепипеда, d – диагональ, то:

;              

4º. Куб – прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны (a – ребро).

;                                  

5º. Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник (основание), а остальные грани (боковые грани) – треугольники, имеющие общую вершину.

Если S_осн – площадь основания, V – объем, H – высота, то:

;

.

Если все боковые ребра пирамиды равны между собой, то:

1)      боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы;

2)      вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности.

Если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом α, то:

1)      апофемы всех боковых граней равны;

2)      вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание;

3)

      ;                        

6º. Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота проходит через его центр.

            Если P – периметр основания, l – апофема, S_бок – площадь боковой поверхности, то:

;              

            6.1º. Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Для произвольной усеченной пирамиды: ,

для правильной усеченной пирамиды: ,

где S₁ и S₂ – площади оснований, h  - высота, V – объем, P₁ и P₂ – периметры оснований, l – апофема; S_бок – площадь боковой поверхности.

            Пример 49. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 6 см, 8 см, 10 см и все боковые ребра образуют с основанием углы по 45º. Тогда объем пирамиды равен:

1) 62 см³         2)  см³      3) 40 см³        4) 24 см³       5) 96 см³.

            Решение.

Дано: MABC – пирамида,

. Найти .

Так как , т.е. , то по теореме обратной теореме Пифагора – ΔABC – прямоугольный, , AB, BC – его катеты, AC – гипотенуза. По условию все боковые ребра пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания, значит, вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности, т.е. в середину гипотенузы ΔABC.

В ΔAOM () острые углы треугольник равнобедренный, . Таким образом,

.

Ответ:  см³ (№3 – правильный ответ).

            Пример 50. Пусть в треугольной пирамиде все боковые грани образуют с плоскостью основания углы по 60º, и в основание вписан круг площадью 9π см². Тогда высота пирамиды равна:

1) 3 см                        2) см         3) см     4) 9 см                        5) см.

Решение. Пусть радиус круга, вписанного в основание пирамиды, - r. Тогда площадь круга S равна: . Отсюда . Из прямоугольного треугольника OMN находим: .

Ответ: высота пирамиды равна см (№3 – правильный ответ).

Пример 51. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат площадью 16 см². Через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего проведена плоскость. Площадь полученного сечения равна 20 см². При этом полная поверхность параллелепипеда равна:

1) 96 см²         2) 48 см²         3) 40 см²         4) 80см²          5) 56 см².

            Решение.

            Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед, ABCD – квадрат, . см², ABC₁D₁ – сечение параллелепипеда,  см². Найти .

.

По условию

Тогда .

Вычислим СС₁. По условию

Из ΔBCC₁: .

Окончательно, .

Ответ: см² (№4 – правильный ответ).

Дидактический материал.

1. Если боковая поверхность правильной четырехугольной призмы равна 40 см², а полная 90 см², то высота призмы равна:

1) 5 см                        2) 4 см                        3) 2 см                        4) 3 см                        5) 10 см.

            2. Высота правильной треугольной пирамиды  равна 6 см. На расстоянии 3 см от вершины проведена плоскость, параллельная основанию. Площадь полученного сечения равна 5 см². Тогда объем данной пирамиды равен:

1) 40 см²         2) 120 см²       3) 20 см²         4) 25 см²         5) 60 см².

            3. Если площадь основания правильного параллелепипеда равна 9 см², а его полная поверхность равна 66 см², то объем параллелепипеда равен:

1) 40 см³         2) 48 см³         3) 36 см³         4) 32 см³         5) 64 см³.

            4. В основание правильной четырехугольной пирамиды вписан круг радиуса 2 см. Боковые грани составляют с плоскостью основания углы 60º. При этих условиях полная поверхность пирамиды равна:

1) 48 см²         2) 32 см²         3) 64 см²         4) 24 см²         5) 36 см².

            5. Около основания правильной шестиугольной призмы описана окружность радиуса 3 см. Высота призмы 4 см. Тогда площадь боковой поверхности призмы равна:

1) 84 см²         2) 36 см²         3) 72 см²         4) 54 см²         5) 42 см².

            6. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см. Все боковые грани образуют с основанием углы 60º. В этих условиях площадь полной поверхности пирамиды равна:

1) 72 см²         2) 64 см²         3) 48 см²         4) 56 см²         5) 88 см².

            7. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Объем пирамиды равен 40 см³. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом. Этот угол равен:

1) 45º              2) 30º              3) 60º              4) 15º              5) 22º15´.

            8. объем правильной треугольной призмы равен . Радиус окружности, описанной около основания равен 2. Найти высоту призмы.

1) 6                 2) 8                 3) 15               4) 9                 5) 12.

            9. Объем куба равен . Найти радиус окружности, описанной вокруг грани куба:

1)            2) 3                 3)           4) 2                 5) .