Тема №12.

Решение геометрических задач. 

12.1.Планиметрия.

1º. Произвольный треугольник.

a, b, c – стороны;

α, β, γ – противолежащие им углы;

p – полупериметр;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности;

S – площадь;

h_a – высота, проведенная к стороне a.

;

 (формула Герона);

;

;

 (теорема косинусов);

 (теорема синусов).

Следует иметь в виду, что:

1) центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке 

пересечения биссектрис треугольника;

2) центр окружности, описанной около треугольника, находится в 

точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника;

3) медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит 

каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

2º. Прямоугольный треугольник.

a, b – катеты; c – гипотенуза;

a_c, b_c – проекции катетов на гипотенузу;

;

;

;

 (центр описанной окружности находится на середине 

гипотенузы);

 (теорема Пифагора);

.

3º. Равносторонний треугольник.

4º. Параллелограмм.

a, b – смежные стороны;

α – угол между ними;

d₁ и d₂ – диагонали;

φ – угол между диагоналями;

h_a – высота, проведенная к стороне a;

S – площадь.

;

;

;

 (сумма квадратов диагоналей параллелограмма 

равна сумме квадратов всех его сторон).

5º. Ромб.

                        ;

                        ;

                        ;

                                                               .

6º. Прямоугольник.

            ;

            ;

                                                             .

7º. Квадрат.

;

         .

8º. Трапеция.

;

.

9º. Описанный многоугольник.

,

где p – полупериметр, r – радиус вписанной окружности.

10º. Правильный многоугольник.

            Если a_n – сторона правильного n-угольника, R – радиус 

описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, то:

            .

11º. Окружность, круг.

            Если r – радиус, C – длина окружности, S  - площадь круга, то:

                        ;

                        .

            Пример 46. В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны

 и . Тогда гипотенуза треугольника равна:

1) 8                 2) 12               3) 10               4) 14               5) 16.

            Решение.

            Введем следующие обозначения:

. Тогда по теореме 

Пифагора получаем:

, .

            По условию задачи: .

1) Из ΔBPC: ,       .        (1)

2) Из ΔAKC: ,        .      (2)

Из (1) и (2) получаем систему алгебраических уравнений:

.

Ответ: 10 (правильный ответ – №3).

            Пример 47. В трапеции сторона основания равна 7, высота 5, 

площадь 25. Тогда другое основание трапеции равно

1) 6                 2) 4                 3) 2                 4) 3                 5) 5.

Решение.

   На рисунке  и

DC – основания данной трапеции,

 – ее высота . 

По условию задачи площадь трапеции равна .

По формуле  получаем уравнение 

относительно DC:

            .

Второе основание трапеции равно 3.

Ответ: 3 (правильный ответ – №4).

            Пример 48.  Периметр ромба равен 2p см, сумма его диагоналей

равна m см. Тогда площадь ромба равна

Решение.

          Пусть дан ромб ABCD,

его диагонали, .

            По условию задачи 

, периметр 

ромба . Требуется 

вычислить площадь ромба. Площадь ромба вычислим по формуле .

Найдем произведение диагоналей ромба: . Так как сумма 

квадратов диагоналей ромба равна сумме квадратов всех его сторон, то

получаем .

Преобразуем это равенство: , но .

Поэтому .

Окончательно, .

Ответ:  см² (правильный ответ – №3).

Дидактический материал.

1. В треугольнике ABC длины сторон AB и AC  соответственно равны 

4 и 6, а синус угла BAC  равен . Тогда сторона CB (CB>8) равна:

2. В равнобедренном треугольнике основание равно 18, 

а боковая сторона в 1,25 больше высоты. Тогда площадь 

треугольника равна:

1) 216             2) 108             3) 144             4) 121             5) 110.

3. В треугольнике сторона, равная 12, расположена против угла 30º. 

Тогда радиус описанной около этого треугольника окружности равен:

1) 24               2) 14               3) 12               4) 8                 5) 15.

4. Около прямоугольника с меньшей стороной, равной 46, и углом 

между диагоналями, равным 60º, описана окружность. Тогда площадь 

круга равна:

1) 1058π         2) 1600π         3) 2116π         4) 1024π         5) 625π.

5. В ромб вписана окружность радиуса 2. Определить площадь ромба,

если его острый угол равен  60º.

6. Даны стороны треугольника см, см, см. 

Тогда радиус описанной около него окружности равен:

1) 64               2) 8                 3) 7                 4)              5)

7. В треугольник вписан круг радиуса 4 см. 

Одна из сторон треугольника разделена точкой 

касания на части, равные 6 см и 8 см. Тогда длины 

двух других сторон равны:

1) 13 и 12       2) 12 и 8         3) 13 и 15       4) 11 и 9         5) 10 и 6.

            8. Внутри круга, радиус которого равен 13 см, 

дана точка М, отделенная от центра круга на 5 см. через точку М 

проведена хорда  см. Тогда длины отрезков, на которые хорда AB

делится точкой М, равны:

1) 9 и 16         2) 8 и 17         3) 4 и 21         4) 5 и 20         5) 6 и 19

            9. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 2 и 3. 

Тогда длина биссектрисы прямого угла этого треугольника равна:

10. Длины оснований трапеции относятся как 7:3 и различаются на 8.

Тогда длина средней линии трапеции равна:

1) 6                 2) 10               3) 12               4) 8                 5) 5.

            11. Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной 

трапеции с основаниями 20 см и 12 см, если известно, что центр

описанной окружности лежит на большем основании.

12. Площадь квадрата, вписанного в правильный треугольник 

со стороной a, равна:

            13. Площадь трапеции, параллельные стороны которой 

равны 16 и 44, а непараллельные – 17 и 25, равна:

1) 420             2) 430             3) 440             4) 450             5) 460

14. Медиана, проведенная к боковой стороне 

равнобедренного треугольника, делит его периметр на две части, 

длины которых равны 30 и 12 соответственно. Определить длину 

основания треугольника.

1) 1                 2) 1,5              3) 2                 4) 2,5              5) 3.

            15. Сторона ромба равна 16, острый угол равен 30º. 

Определить радиус вписанного круга.

1) 3                 2) 3,5              3) 4                 4) 4,5              5) 5.

            16. Круг описан около прямоугольного треугольника, 

один из катетов которого равен 6 см, а угол, лежащий против 

этого катета, равен . Тогда площадь круга равна:

1) 6π см²         2) 9π см²         3) 36π см²       4) 144π см²     5) 24π см²