|
Тема
№11.
Тригонометрические
уравнения.
11.2. Основные методы решения
тригонометрических уравнений.
1º. Уравнение
вида   равносильно
уравнению  , где  ,  .
Пример 40. Решить уравнение.
Решение:
 .
Ответ:  .
2º. Одним из основных методов
решения тригонометрических
уравнений, так же как и других видов уравнений,
является метод
подстановки (замены переменной).
Пример 41. Решить уравнение  .
Решение: Так как  , то уравнение можно
переписать следующим образом:  , т.е.
 . Полагая  , приходим к квадратному
уравнению  , откуда  , и получаем
совокупность двух простейших уравнений  . Первое из
них имеет решение  , а второе решений не имеет.
Ответ:  .
Метод замены переменной полезен при
решении так называемых
однородных
уравнений, т.е. уравнений вида
 (однородное уравнение I порядка),
 (однородное уравнение II порядка).
Если  , то при делении обеих частей первого
уравнения на  ,
а второго уравнения на  получаем
алгебраические уравнения,
решаемые подстановкой  . Если a=0, то
во втором уравнении 
выносится за скобки.
Пример 42. Решить уравнение  .
Решение: Разделив уравнение на  , получим  .
Пусть  , тогда  или:
1)  ;
2)  .
Ответ:  .
Замечание 1. Уравнение вида 
 можно привести к однородному
уравнению II порядка,
положив  .
Замечание 2. Уравнение вида   можно
привести к однородному
уравнению II порядка
относительно  и  .
3º. При решении тригонометрических уравнений также часто
используют метод
разложения на множители.
Пример 43. Решить уравнение  .
Решение: Все члены уравнения переносятся в левую часть,
после чего левую
часть уравнения раскладывают на множители:
 .
Значит, либо  , откуда  , либо  , откуда
 .
Ответ:  .
Заметим, что для разложения на
множители могут применяться
различные формулы: формулы разложения тригонометрических
функций в произведение, формулы понижения степени, формулы
преобразования
произведения в сумму и др.
Пример 44. Решить уравнение  .
Решение: Согласно формуле (10.19)
заменим произведение
тригонометрических функций суммой, а затем воспользуемся
формулой
(10.15):
 .
Ответ:  .
Пример 45. Решить уравнение  .
Решение: Это уравнение можно
привести к квадратному относительно  , понизив степень  и  , но существует более короткий способ.
Дополним левую часть уравнения до полного квадрата суммы, для чего
прибавим  к обеим частям
уравнения. Получим уравнение равносильное данному:
 ;
 .
Применяя
формулы (10.1) и (10.10), получаем:  .
Пусть  . Тогда  ;  (не удовлетворяет
условию  ),  . Так как  , то  ,
 .
Ответ: .
|
