Тема №10.

Преобразование тригонометрических 

выражений.

1º.  На плоскости xOy рассмотрим окружность с центром в 
начале координат и радиусом, равным 1. На единичной окружности 
отметим точку A(1;0). Радиус OA называют начальным радиусом. При 
повороте начального радиуса на угол α около центра О точка А(1;0) 
перейдет в некоторую точку М(x;y). Заметим, что поворот можно 
осуществить по часовой стрелки (угол поворота положителен) или 
против часовой стрелки (угол поворота отрицателен).

    Косинусом угла α 
называется абсцисса точки М:           .
    Синусом угла α называется 
ордината точки М:   .
 Тангенсом угла α 
называется отношение ординаты 
точки М к ее абсциссе:              .              

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки М к ее ординате:        .

 являются тригонометрическими функциями 

аргумента α.

2º. Единицами измерения величины угла являются градус и радиан.

Если начальный радиус окружности совершит один полный оборот,

то получится угол, равный 360˚ или 2π радиан.

Связь между градусной и радианной мерами измерения угла:

рад.

Из этой формулы следует:

а) ;    б) ;    в) ;    г) ;     д)  и т.д.

            3º. Свойства тригонометрических функций:

Функции  - нечетные функции:

.

            Функция  - четная: .

            Функции  - периодические с наименьшим периодом 2π:

.

            Функции  - периодические с наименьшим периодом π:

.

            4º. Основное тригонометрическое тождество.

            Согласно теореме Пифагора (“в прямоугольном треугольнике 
сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы”) координаты любой 
точки М(x;y) единичной окружности удовлетворяют уравнению: 
. Отсюда:

 где                  (10.1)

            Из этой формулы следует:

а) ;        б) .

            5º. Основные соотношения между тригонометрическими функциями:

,                          (10.2)

,                        (10.3)

,                         (10.4)

,                (10.5)

.                     (10.6)

            6º. Формулы сложения аргументов:

                        ,                        (10.7)

                        ,                       (10.8)

         .              (10.9)

7º. Формулы двойного аргумента:

,                                                (10.10)

                   ,                                              (10.11)

                  .                      (10.12)

8º. Формулы понижения степени синуса и косинуса:

              .           (10.13)(10.14)

9º. Преобразование суммы и разности одноименных 
тригонометрических функций в произведение:

,                              (10.15)

,                             (10.16)

,                            (10.17)

.            (10.18)

  10º. Преобразование произведения тригонометрических 

функций в сумму:

                        ,                    (10.19)

                        ,                  (10.20)

                        .                   (10.21)

            11º. Выражение тригонометрических функций через 
тангенс половинного аргумента.

            При доказательстве тождеств, решении тригонометрических 
уравнений и т.п. часто возникает необходимость выразить 
все 4 тригонометрические функции через какую-нибудь одну функцию f(x). 
Для этого пользуются следующими формулами:

а) ,      (10.22)

б) ,     (10.23)

в) .               (10.24)

12º. Формулы приведения. Это соотношения, при помощи 
которых значения тригонометрических функций аргументов  выражают через тригонометрические функции 

угла α. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

   Пример 34. Найдите , если .

            Решение: . По формуле (10.6) 

 . Так как α находится 

в 3-ей четверти, то  и, следовательно, . 

Ответ: .

            Пример 35. Вычислить значение выражения

 , если .

            Решение: Используем формулу (10.10), а затем числитель и 
знаменатель дроби разделим на . Тогда:

Ответ: 9,25.

            Пример 36. Доказать тождество: .

            Решение: Используя формулы (10.15), (10.16), получим:

.

            Пример 37. Вычислить , если .

            Решение: Выразив  и  через  по формулам 

(10.22), (10.23), получим:

.

Ответ: ¼.

   Пример 38. Упростить выражение: .

Решение: Воспользуемся свойствами четности и 
нечетности тригонометрических функций, а также выделим период в 
аргументе функций и исключим его, опираясь на свойство 
периодичности функций:

,

,

,

,

.

Получаем:

Далее используем формулы приведения:

.

Ответ: -1.

Пример 39. Найти .

Решение: Воспользуемся формулой приведения

 и определением котангенса:

.
П

оскольку угол  находится в 4-ой четверти , то . Получаем:

.

Дидактический материал.

Найдите значение выражения:

1. , если ;
2. , если ;
3. , если ;
4. , если ;
5. , если , а α и β – углы I четверти;
6. , если ; а α и β – углы I четверти;
7. , если ;
8. , если .

Вычислите:

9. , если ;
10. , если ;
11. , если .

Упростите выражение:

12. ;       13. ;

14. ;                     15. ;

16. ;
17. ;    18. ;

19. .

Преобразуйте в произведение:

20. ;
21. .

Найдите значение выражения:

22. ;                       23. ;

24. ;   25. ;      26. .

Ответы: 1. 0; 2. 5,92; 3. 10; 4. 3; 5. 5,2; 6. 6; 7. 3; 8. 3; 9. 1,24; 10. -10; 11. 7/25; 12. 1; 13. 2; 14. 0; 15. 0; 16. 2; 17. -1; 18. 2; 19. -1; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. 21; 25. 24; 26. 26.