1.3.  Процент. Основные задачи на проценты.

1º. Процентом называется сотая часть какого-либо числа. Следовательно, само число составляет 100 процентов. Слово «процент» заменяют знаком %, т.е. .

2º. При решении основных задач на проценты (нахождение процентов данного числа; нахождение числа по его процентам) некоторая величина b принимается за 100 %, а ее часть – величина a – принимается за p % и составляется пропорция

.

Из этой пропорции по двум известным величинам определяют искомую третью величину, пользуясь основным свойством пропорции: b · p = 100 · a .

 Пример 2. Сколько процентов числа 7 составляет разность между ним и 4 % числа 28?

Решение.

Найдем 4 % от числа 28. Чтобы найти проценты от числа, надо перевести проценты в десятичную дробь и умножить данное число на эту дробь. Это будет: 28 · 0,04 = 1,12.

Определим разность 7 – 1,12 = 5,88. Найдем, сколько процентов числа 7 составляет 5,88. Для этого составим пропорцию:

число 7 – 100 %,

число 5,88 – x %.

                               Отсюда .

3º. Чтобы найти процентное отношение двух чисел a и b, надо отношение этих чисел умножить на 100%, т.е. вычислить .

4º. При нахождении суммы вклада в банк используют формулу простых процентов или формулу сложных процентов.

Простой процентный рост: ,

где S – начальная сумма вклада, p - число процентов годовых, n – срок вклада, - величина вклада через n лет.

Сложный процентный рост: .

Дидактический материал.
 

1)  Найдите:

а) 4% от 75; б) % от 330; в) 160% от 82,25.

2)      Найдите число, если:

а) 40% его равны 12; б) 1,25 % его равны 55;в) 0,8% его равны 1,84; г) % его равны .

3)    Найти, сколько процентов составляет:

а) число 15,57 от числа 90;  б) число 150 от числа 120; в) число 0,3 от 1,9

4)      Число, % которого составляют , равно:

а) 0,672           б) 400             в) 672             г) 500              д) 472

5)      Число,% которого составляет ,  равно:

а) 762              б) 580             в) 140             г) 350              д) 7,62

6)  Сколько процентов числа 3 составляет разность между ним и 3% числа 20?

7)  18% числа 10 равны 15% числа с. Найти с.

8)   После увеличения числа на 17% получили 108,81. Исходное число равно:

а) 93,05           б) 93               в) 94               г) 92                д) 92,86

9)      Некоторое число уменьшили на 14%, получив в результате 95. Это число с точностью до 0,01 равно:

а) 110,46       б) 110,44        в) 109,59        г) 110,50         д) 110,47       

10)  Сберегательный банк начисляет по вкладам ежегодно 2% вклада. Вкладчик внес в банк 15000 руб. Какой станет сумма через 2 года?

11)  По долгосрочному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года начисленная сумма присоединяется к вкладу. На этот вид вклада был открыт счет в 20000 руб., который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение 3-х лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

12)  Вкладчику на положенные в банк деньги через год начислили проценты в размере 15 тыс.рублей. Не взяв их, а добавив еще 85 тыс.рублей, он оставил все деньги еще на год под те же проценты. По истечении второго срока вклад вместе с процентными начислениями составил 275 тыс.рублей. Сколько тысяч рублей было положено в банк первоначально? (При решении задачи следует учесть, что процентная ставка банка не может превышать 100% годовых).

13)  Вкладчик положил в банк некоторую сумму под 10% годовых. Каждый год после начисления процентов он добавляет на свой счет 5000 рублей. В результате через три года его вклад составил 29860 рублей. Какова была сумма первоначального вклада?

14)  Производительность труда второй бригады на 20% больше, чем первой бригады, а производительность труда третьей бригады на 25% меньше, чем второй. На сколько процентов производительность труда третьей бригады меньше, чем первой?

15)  Владелец магазина дважды за год повышал центы на товары в среднем на 10%. На сколько процентов повысилась цена на товары за год?

16)  Цены на компьютерную технику в среднем понижались за год дважды на 10%. На сколько процентов понизились цены на компьютерную технику за год?

17)  Два спиртовых раствора борной кислоты одинаковой массы слили в один сосуд. Раствор какой концентрации получили в результате, если первый раствор был пятипроцентным (5% борной кислоты и 95% спирта), а второй – однопроцентный?

18)  Сколько мл воды нужно добавить к 500 мл 96%-ного раствора спирта (96% спирта, 4% воды), чтобы получить 40%-ный раствор спирта?

19)  Из сосуда, полностью заполненного 12%-ным раствором соли, отлили 1л и налили 1л воды. После этого в сосуде оказался 9%-ный раствор соли. Сколько литров вмещает сосуд?

20)  В библиотеке имеются книги на английском, французском и немецком языках. Английские книги составляют 36% всех книг на иностранных языках. Французские – 75% английских, а остальные 185 книг – немецкие. Сколько книг на иностранных языках в библиотеке?

21)  Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 12%. Сколько получится сухих грибов из 44 кг свежих?

Ответы: 6) 80%; 7) 12; 10) 15660; 11) 15606; 12) 150; 13) 10000; 14) 10; 15) 21; 16) 19; 17) 3; 18) 700; 19) 4; 20) 500; 21) 5.