ЗАДАЧА № 3

 

        Обработка результатов измерений - составная часть, как исследований, так и производственной практики. При изготовлении партии деталей неизбежно рассеивание их размеров, выявляемое при измерениях. Поэтому результат измерений детали всегда является дискретной случайной величиной. Случайной величиной является и погрешность размера детали.

         Задачи 3 и 4 посвящены обработке результатов измерений [2] и предполагают знания основных понятий.

         Прямые измерения - это измерения, при которых искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных.

         Косвенные измерения - это измерения, при которых искомое значение величины находят на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой.

         Многократные измерения - это измерения одного и того же параметра объекта, повторенные n раз тем же оператором в одинаковых условиях одним и тем же средством измерений с целью уменьшения погрешностей.

          Вариационный ряд - это ряд данных, расположенных в порядке возрастания их значений.

          Абсолютная частота (частость) - доля случайных величин, попавших в рассматриваемый интервал значений, от общего числа экспериментальных данных.

          Среднее арифметическое значение - характеристика положения центра рассеивания, взвешенная по частностям значений величины.

Среднее квадратическое отклонение (СКО) - характеристика рассеивания случайной величины около центра рассеивания.

Гистограмма - это графическое представление распределения частот экспериментальных данных.

Доверительный интервал - это интервал, в котором с доверительной вероятностью находится истинное значение измеряемой величины.

Задача 3. Произведены прямые многократные измерения параметра изделия, результаты которых в виде отклонений от номинального значения распределились по интервалам (табл. 3) как показано в табл.4. Требуется: а) построить гистограмму эмпирического распределения; б) аппроксимировать эмпирическое распределение с помощью нормального закона; в) проверить согласованность теоретического нормального и эмпирического распределений, пользуясь критерием согласия χ2, при доверительной вероятности Р (см. табл.3); г) представить результат измерений в форме доверительного интервала при заданной доверительной вероятности Р.

Например, для номера зачетной книжки, оканчивающегося цифрами 12, задание имеет вид: измеряемая величина - напряжение в цепи, доверительная вероятность Р = 0,975, интервалы значений, В: [0;2][2;4][4;6][6;8][8;10]...; число  экспериментальных данных по интервалам m1: 1; 10; 35; 120; 210...

Таблица 3

Номер интервала

Предпоследняя цифра номера зачетной книжки

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Интервалы значений измеряемой величины

1 -5;-4 0;2 -25;-20 -50;-40 2,5;-2 0;5 -100;-80 500;400 0;4 -10;-8
2 -4;-3 2;4 -20;- 15 -40;-30 -2;-1,5 5;10 -80;-60 400;300 4;8 -8;-6
3 -3;-2 4;6 -15;-10 -30;-20 -1,5;-1 10;15 -60;-40 300;200 8;12 -6;-4
4 -2;-1 6;8 -10;-5 -20;-10 -1;-о,5 15;20 -40;-20 200;100 12;16 -4;-2
5 -1;0 8;10 -5;0 - 10;0 -0,5;0 20;25 -20;0 - 100;0 16;20 -2;0
6 0;1 10;12 0,5 0;10 0;0,5 25;30 0;20 0;100 20;24 0;2
7 1;2 12;14 5;10 10;20 0,5;1 30;35 20,40 100;200 24;28 2;4
8 2;3 14;16 10;15 20;30 1;1,5 35;40 40;60 200;300 28;32 4;6
9 3,4 16;18 15,20 30;40 1,5;2 40;45 60;80 300;400 32;36 6,8
10 4;5 18;20 20;25 40;50 2;2,5 45;50 80;100 400,500 36;40 8;10
Измеряемая величина и размерность элект. сопротивление, Ом напряжение в цепи,

В

линейный размер детали, мкм угол конуса, мин. расстояние до цепи, м. мощность двигателя, Вт. Срок службы лампочки, ч. высота объекта, м. диаметр отверстия, мкм. сила тока в цепи, мА.
Доверит. вероятность, Р 0,95 0,975 0,93 0,99 0,90 0,80 0,995 0,98 0,95 0,99

Таблица 4.

Последняя цифра № зачетной книжки Число экспериментальных данных, попадающих в каждый i-й интервал
№ интервала
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 6 25 72 133 120 88 46 10 4
1 0 1 5 20 60 32 18 8 4 0
2 1 10 35 120 210 95 42 20 6 2
3 2 6 12 20 25 19 10 8 4 1
4 5 32 50 95 110 89 47 25 12 3
5 3 10 21 35 48 60 39 23 14 6
6 0 4 9 14 17 15 10 7 3 1
7 2 15 32 50 82 90 75 41 18 5
8 1 10 18 25 36 28 20 16 11 2
9 2 14 30 43 55 40 26 14 4 0

 

Методические рекомендации к задаче 3.

  

1. Построить гистограмму.

1.1. Определить абсолютную частоту попадания случайной величины в каждый i – интервал:

        рэi =  , где n – общее число экспериментальных данных.

1.2.  Вычислить размах колебаний измеренной величины:

                 R = xmax -xmin , где xmax , xmin – крайнее значение вариационного ряда.

1.3.Рассчитать ширину интервала:

        h =, где  r – число интервалов.

1.4.Рассчитать для каждого интервала значения рэi´ =  , на основании которых построить гистограмму. Она представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников. Основанием их являются  отрезки, изображающие интервалы вариационного ряда, а высоты равны частотам этих интервалов, деленным на ширину интервала.

2. Построить аппроксимирующую кривую, соответствующую нормальному закону.

2.1. Рассчитать среднее арифметическое значения результатов измерений:

             , где хi – середина i -го интервала.

2.2. Рассчитать СКО результатов измерений:

        σ = .       

 

2.3. Определить значение ординат кривой нормального распределения 

                  fi   по [3, с.178].

 

2.4. Вычислить теоретическую вероятность попадания значений измеряемой величины в i – й интервал:

         рi= · fi .

2.5. Провести аппроксимирующую кривую через точки  .

3. Проверить согласованность теоретического и эмпирического распределений по критерию Пирсона c2.

3.1. Вычислить показатель разности частот эмпирической и теоретической:

                 cэ2 = ci2 =

3.2. Определить уровень значимости: a=1 – Р.

3.3. Рассчитать число степеней свободы:  k= r – 3.

3.4. Найти предельно допустимое значение ca2 [2. с.169].

3.5. Установить, соответствует ли эмпирическое распределение теоретическому нормальному, на основании выполнения неравенства: cэ 2 < ca2 ,

4. Представить результат измерений Х в форме доверительного интервала:

             - < X <  + ,

              где tр  - коэффициент  Стьюдента при заданной доверительной вероятности Р [2, с. 167].