Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов

Лекция 4.

Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается скалярное произведение символом (;) или . Скалярное произведение векторов можно выразить формулами:

=II II cos(())=II = II.

Отсюда скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного вектора на проекцию на него другого.

Пусть вектор перемещения будет неподвижен, а точка приложения вектора силы скользит вдоль вектора , тогда

=II =II II cosj=A

есть работа, совершаемая под действием силы вдоль вектора .

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами.

Пусть ={x₁, y₁, z₁} и ={x₂, y₂ z₂,} тогда = x₁ x₂+y₁ y₂+z₁ z₂.

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат.

Свойства скалярного произведения.

1) Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны: =0 j=.

2) Скалярное произведение коммутативно: =.

3) Ассоциативно относительно скалярного множителя: ()=().

4) Скалярное произведение дистрибутивно: (+)=()+().

5) Свойство скалярного квадрата: ²=II² отсюда II=.

Рассмотрим таблицу скалярного умножения ортов:

(;)=(;)=(;)=1, (;)=(;)=(;)=(;)=(;)=(;)=0.

Скалярное произведение одноименных ортов равно единице, а разноименных - нулю.

Угол между двумя векторами. Из определения скалярного произведения:

cosj==.

Условие ортогональности двух векторов:

x₁ x₂+y₁ y₂+z₁ z₂=0.

Условие коллинеарности двух векторов: .

Проекция вектора на вектор:

Векторное произведение.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , или , определяемый следующими тремя условиями:

1) Модуль вектора равен , где - угол между векторами и, т.е.

ll= .

Отсюда следует, что модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах икак на сторонах .

2) Вектор перпендикулярен к каждому из векторов и (^;^), т.е. перпендикулярен плоскости параллелограмма, построенного на векторах и.

3) Вектор направлен так, что если смотреть из его конца, кратчайший поворот от вектора к вектору был бы против часовой стрелки. (векторы , , образуют правую тройку).

Векторное произведение двух векторов, заданных своими проекциями.

Пусть даны векторы =x₁+y₁+z₁ и = x₂+y₂+z₂, тогда

=. Если разложить определитель по элементам первой строки, то

Механический смысл векторного произведения.

Пусть в точке А к диску приложена сила . Определить момент силы относительно точки О на диске - =mom₀.

^и ^ и ^(a), ll=llp=llllsin(p-f)=llllsin(f).

Отсюда следует, что =

Свойства векторного произведения векторов.

1) Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю.

ll( ll¹0; ll¹0) =0.

2) Антикоммутативность: = -.

3) Ассоциативность относительно скалярного множителя: (a)=a().

4) Дистрибутивность: = + .

Таблица векторного умножения ортонормированного базиса , , .

´= ´= ´=0, ´=, ´ =, ´=, ´ = -, ´= -, ´= -.

Для запоминания можно воспользоваться круговым правилом:

Смешанное произведение трех векторов.

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется векторное произведение двух векторов ´, скалярно умноженное на третий вектор : (())=(, , )

Смешанное произведение есть скалярная величина, по модулю численно равная объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах.

Пусть =, тогда m=(, , )==ll= S (H)=V_пар-да, где “+” означает, что ,, образуют правую тройку, а “-“ –левую тройку. Отсюда получаем, что

V_п-да=l(,,)l; V_тет-да=l(,,)l.

Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами.

Если перемножаемые векторы заданы их разложением по ортам:

=x₁+y₁+z₁ , = x₂+y₂+z₂, =x₃+y₃+z₃ ,

то их смешанное произведение будет равно определителю третьего порядка:

(,,)=.

Свойства смешанного произведения.

1) Если в смешанном произведении перемножаемые векторы переставить в круговом порядке, то произведение не изменится: ()=(´)=(´).

2) Если в смешанном произведении поменять местами знаки векторного и скалярного умножения, то произведение не изменится: ()=(´).

Это свойство позволяет записывать смешанное произведение в виде (,,) без знаков векторного и скалярного умножения.

3) Перестановка в смешанном произведении любых двух векторов изменит лишь его знак: = -; = -; = -.

4) Смешанное произведение обращается в нуль, если:

a) хотя бы один из перемножаемых векторов есть нуль- вектор;

b) два из перемножаемых векторов коллинеарные;

c) три перемножаемые вектора компланарны;

Заметим, что случай с) содержит в себе и оба предыдущих: Если хотя бы один из трех векторов есть нуль-вектор или два из них коллинеарны, то все три вектора будут компланарны, следовательно,

,,-компланарны.Û (,,)=0 или =0.

Задачи на тему “Векторная алгебра”.

Задача 1. Дано: точки А(-3 1 2 ), В(4 –3 2 ), С(0 –1 3 ), D(-6 2 1 )

Найти: 1) координаты и длину вектора ;

2) направляющие косинусы вектора ;

3) скалярное произведение ;

4) проекцию пр.

5) угол между векторами и ;

6) векторное произведение ´ и его модуль;

7) площадь треугольника АВC;

8) лежат ли точки А,В,С,D в одной плоскости;

9) объем пирамиды АВСD;

1) Найдем координаты векторов и :

={4-(-3); -3-2; 2-2}, ={7; –4; 0}, ={-6-0; 2-(-1); 1-3}, ={-6; 3; –2}.

По правилам действий с векторами, получим

2={-12; 6; –4} и -2={7; –4; 0} - {-12; 6; –4} = {19; –10; 4}.

Теперь находим длину искомого вектора:

ç -2ç==.

2) Так как ={7;–4; 0 }, êê==, то направляющие косинусы находятся согласно формулам:

cos=, cosb=, cos=0.

3) (;) найдем по формуле скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Поскольку ={7; –4; 0 }, ={-6; 3; –2}, то

( ;)=7×(-6)+(-4) 3+0×(-2)=-54.

4) На основании формулы проекции, имеем

пр =. Отсюда, пр=.

5) Заметим, что вектора ={7 –4 0 } и ={-6 3 –2} не являются коллинеарными, поскольку не пропорциональны их координаты:

Эти вектора не являются также перпендикулярными, так как их скалярное произведение (; )0.

Угол =Ð(;) найдем из формулы:

cos=.
Ранее было найдено( ) = - 54, , , стало быть,

cos=.

6) По формуле векторного произведения, имеем

===8+14-3.
Таким образом, векторное произведение имеет координаты:

={8; 14; –3}, а его модуль =.

7) Применив формулу площади для треугольника ABC, построенного на векторах

, , получаем .
Векторное произведение и его модуль найдем, аналогично решению задачи 6):

={-4; –7; –2}, =.

Отсюда получаем, что (кв. ед.)

8) Точки A,B,C,D будут лежать в одной плоскости, если три вектора, соединяющие эти точки, являются компланарными. Составим, например, вектора ={7; –4; 0},
={3; –2; 1}, ={-3; 1; –1} и найдем их смешанное произведение: