Лекция 2.

Элементы математической логики.

Исходным понятием математической логики является понятие “высказывание”.

Определение. Высказыванием называется предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным.

Обозначаются высказывание заглавными буквами русского и латинского алфавитов. Примеры: 1. Предложение А :” г. Москва-столица России” есть истинное высказывание.

2. Предложение В: “2>3”- ложное высказывание.

Каждому истинному высказыванию будем ставить в соответствие число 1, а каждому ложному-0. На множестве высказываний вводится функция a(р) по правилу:

a(p)=.

В рассмотренных выше предложениях a(A)=1; a(B)=0.

Высказывания А, B-элементарные. К элементарному высказыванию предъявляется единственное требование: оно должно иметь вполне определенное значение.

Операции над высказываниями.

Пусть имеется некоторая совокупность высказываний, которые назовем элементарными. Исходя из этих высказываний, можно строить новые высказывания с помощью так называемых логических операций.

Определение. Отрицанием высказывания Р называется новое высказывание  
(илиù Р ), которое считается истинным, если высказывание Р ложно и считается ложным, если Р истинно.  Высказывание читается: ”неверно, что…”.

Пример. Высказывание Р: “3<5”.Высказывание :”неверно, что 3<5”.

Определение. Конъюнкцией высказываний P и Q называется новое высказывание РÙQ (или P&Q), которое считается истинным, если истинны оба высказывания P и Q и ложным во всех остальных случаях.

Пример. Высказывания Р: 1<20 и Q: 1>-2, то высказывание РÙQ:-2<1<20.

Определение. Дизъюнкцией высказываний P и Q называется новое высказывание PÚQ, которое истинно в тех случаях, если хотя бы одно из высказываний P или Q истинно, и ложно, если ложны оба высказывания.

Пример. Высказывания X:”1>100”и Y:”5>2”, то высказывание XÚY (”1>100” или ”5>2”) истинно, так как истинно Y.

Определение. Импликацией высказываний P и Q называется высказывание P®Q, ложное лишь в том случае, когда Р истинно, а Q ложно.

Высказывание “P®Q” читается : “Если Р то Q” или “Из Р следует Q”. При этом высказывание Р- посылка (или условие), а Q-заключение (следствие).

Пример. Высказывание “Если 2<5, то 7<3” является импликацией высказываний “2<5”(посылка) и “7<3”(заключение). Высказывание ложно, т.к. из истинной посылки “2<5”сделано ложное заключение “7<3”.

Определение. Эквиваленцией высказываний P и Q называется высказывание P«Q (читается “P эквивалентно Q” или “P тогда и только тогда, когда Q”), а истинно в том и только том случае, когда P и Q одновременно истинны или одновременно ложны.

Операции “Конъюнкция”, “Дизъюнкция”, “Импликация”, “Эквивалентность”, можно рассматривать как функции двух логических переменных x и y. Значения функций принадлежат тому же числовому множеству {0; 1}, что и значения логических переменных, такие функции называются булевыми функциями.

Сводная таблица истинности логических операций над высказываниями:

1	1	0	0	1	1	1	1
1	0	0	1	0	1	0	0
0	1	1	0	0	1	1	0
0	0	1	1	0	0	1	1

Законы алгебры логики.

1а	1б  коммутативность
2а	2б  ассоциативность
3а	3б  дистрибутивность
4а	4б  закон поглощения
5а	5б закон Моргана

Контактные схемы.

Одним из приложений булевых функций является анализ и синтез так называемых контактных схем. Будем рассматривать переключательные схемы электрической цепи.

 Между источником питания и потребителем может быть замыкающий и размыкающий цепь контакт, либо цепь контактов, соединенных последовательно или параллельно. Каждому контакту поставим в соответствие логическую переменную, которая примет значение 1, если контакт в рассматриваемый момент времени замыкает цепь, и значение 0, если цепь разомкнута.

Поместим между источником и потребителем тока два контакта, соединенные последовательно (рис. b). Соответствующие им логические переменные обозначим через х₁ и х₂. Для такой цепи условие прохождения тока описывается конъюнкцией х₁Ùх₂.

Если контакты соединены параллельно (рис с), то цепь замкнута, когда хотя бы один из контактов замкнут, и разомкнута, когда оба они разомкнуты. Очевидно, работа в цепи в этом случае описывается дизъюнкцией х₁Úх₂.

Контакты не всегда независимы друг от друга. Можно устроить так, чтобы замыкались и размыкались одновременно. В этом случае контакты называют идентичными и им ставят в соответствие одинаковые логические переменные.

Однако можно устроить так , что при замыкании одного контакта другой размыкается. В этом случае контакты называют инверсными. Любую формулу логики высказываний можно моделировать в виде переключательной схемы.

Пример. Совершенной дизъюнктивной нормальной форме (с.д.н.ф.) F(x,у,z), составленной по таблице истинности, соответствует переключательная схема вида:

Для соответствующей совершенной конъюнктивной нормальной формы (с.к.н.ф.)

F(x,y,z) переключательная схема имеет вид:

Прямая , обратная, противоположная теоремы. Критерии.

1.      Прямая теорема: АВ (условиеследствие, посылказаключение).

2.      Обратная теорема: ВА (заключениепосылка).

3.      Противоположная теорема: .

4.      Теорема, обратная к противоположной: .

5.       Необходимое и достаточное условие (критерий): АВ~(АВ)(ВА)

Задачи на тему “Логика”

1)     Даны высказывания А={2=3} и В={2<3}. В чем заключаются высказывания АÚВ, АÙВ, А~В, А®В? Какие из этих высказываний истинны и какие ложные?

D1.Высказывание АÚВ={2=3 или 2<3} истинно, так как одно из слагаемых является истинным высказыванием. Высказывание АÚВ так же можно записать в виде АÚВ={2£3}.

2. Высказывание А ÙВ={2=3 и 2<3} является ложным, так как по крайней мере одно из высказываний ложно.

3.Эквивалентность А ~В={2=3 тогда и только тогда, когда 2<3} представляет собой ложное высказывание, так как А ложно, а В истинно.

4.Импликация А®В={если 2=3, то 2<3} является истинным высказыванием. В самом деле, А®В согласно определению ложно тогда и только тогда, когда А -истинно, а В – ложно.Ñ

2)  Составить таблицу истинности высказывания 

Совершим следующие промежуточные выкладки:

X	Y	1	2	3	4	5	6
1	1	0	0	0	0	1	1
1	0	0	0	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0	0	1
0	0	1	0	1	1	1	1

Замечание. Так как в последнем столбце получились все единицы, то данное высказывание является истинным.

 

На главную

В начало