Лекция 1.

Множества.

Множество-это неопределяемое понятие, смысл которого ясен на основании практической деятельности человека. “Объекты”, входящие в состав множества, называются элементами заданного множества. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами. Стандартные числовые множества:

N-множество натуральных чисел: {1, 2, 3,…},

Z-множество всех целых чисел: {0, 1, 2,…},

Z0- множество всех неотрицательных целых чисел: {0, 1, 2, …},

Q-множество рациональных чисел: {}, m, nN,

R-множество действительных чисел, I-множество иррациональных чисел

Множества обозначаются заглавными буквами A,B,M,N., а элементы обозначают прописными буквами: a,b,x,y. Если некоторый элемент x принадлежит множеству А, то пишут xA. Если x не принадлежит А, то пишут  xA или xA.

Например, 5N; Q; Q; 0N.

Два множества А и В называются равными в том и только том случае, когда каждый элемент множества А является элементом множества В и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А. Это значит, что множество однозначно определяется своими элементами. Если множество А равно множеству В, то пишут А=В.

Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то говорят, что множество В включается во множество А и пишут: В Ì А, или А É В, где É и Ì значит включение. В этом случае множество В называют подмножеством множества А. Из определения подмножества следует, что включение ВÍА допускает одновременное выполнение условия В=А, а это значит, что в число подмножеств любого множества входит и само это множество. Подмножества множества А, не совпадающие с множеством А, называются собственными подмножествами множества А.

Наконец, два множества А и В равны в том и только том случае, если выполняется система двух вложений А Ì В, В ÉА.

Примеры: N Ì Z,  Z ÌQ, Q ÌR,  Z0 ÌZ,  N ÌZ0 ..

Введем в рассмотрение пустое множество, т.е. ”множество”, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом . Пустое множество является подмножеством любого множества. Это следует из определения подмножества как множества, не содержащего элементов, не принадлежащих А..

Задание множеств.

Существует два способа задания множества: перечислением его элементов и описанием свойств, присущих только элементам данного множества. При первом способе, в фигурных скобках перечисляются элементы, входящие в состав данного множества. Например: A={0;3;–2;4;5;23}, N={1;2;3;..}.

При втором способе также используются фигурные скобки, но теперь внутри скобок проводят вертикальную черту, разделяющую описание множества на две части. Слева от черты указывают, из какого множества объектов выбираются элементы данного множества, а справа описываются свойства, которыми обладают объекты, входящие в состав данного множества. Например, А={xÎN ½0<x<5}={1;2;3;4;…}.

Операции над множествами.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество АÈВ, каждый элемент которого принадлежит либо множеству А либо множеству В (либо обоим этим множествам).

Пример. 1) Если А={1;2;3;4}, B={3;4;5;6} и C=AÈB, то С={1;2;3;4;5;6}.
2) Пусть М={xÎR ½xÎ[3; 5]}, P={xÎR½xÎ[4;6) } и T=MÈP. Тогда  Т={xÎR½xÎ[3;6)}.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество А ÇВ, каждый элемент которого принадлежит одновременно множествам А и В.

Пример. 1) Если А={1;2;3;4}, B={3;4;5;6} и C=AÇB, то С={3;4}.
2) Пусть М={xÎR ½xÎ[3; 5]}, P={xÎR½xÎ[4;6) } и S=MÇP. Тогда S={xÎR½xÎ[4;5]}.

Если пересечение А и В пусто (АÇВ=), то множества А и В называются непересекающимися.

Определение. Разностью множеств А и В называется множество А\В, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

Пример. Для множеств А, B, M, P, приведенных в предыдущих примерах, будем иметь: A\B={1;2}, M\P=[3;4).

Если множество А рассматривается как подмножество некоторого универсального множества U, то U\A называется дополнением множества А до множества U и обозначается , или символ Сu, т.е. = Сu А.

Определение. Дизъюнктивной суммой (симметрической разностью) множеств А и В называется множество АÅВ(или АDВ), каждый элемент которого принадлежит либо множеству А, либо множеству В, но не принадлежит одновременно А и В.

Примеры.1. Для приведенных выше множеств А, В, М, Р будем иметь:
АÅВ={1;2;5;6} и MÅP=[3;4)È(5;6).

2. Даны множества А=íxÎZ ï£25ý, В=íxÎR ïx3+4x2+3x=0ý.

Найти: AÈB, AÇB, A\B, B\A, ADB.

D 1. Множество A представляет собой совокупность целых чисел, удовлетворяющих условию £25. Поэтому, чтобы непосредственно указать элементы множества A, решим неравенство. Итак, £25, £52.

Поскольку основание показательной функции больше единицы, то x2+x£2,
(x-1)(x+2)£0. Отсюда получаем, что –2£x£1. Таким образом, A=í-2;-1;0;1ý.

2. Множество В состоит из действительных чисел, являющихся корнями уравнения x3+4x2+3x=0. Следовательно, В={-3;–1;0}

3. Множество AÈB содержит все элементы А и В, и не содержит никаких других элементов, то есть АÈВ={-3;-2;-1;0;1}

4. Множество АÇВ содержит все общие для А и В элементы, т.е. АÇВ={-1;0}.

5. Множество А\В получается удалением из множества А общих с В элементов:

    А\В={-2;1}.

6.Множество В\А получается удалением из множества В общих с А элементов:

В\А={-3}.

7.Множество АDВ содержит все элементы А и В, кроме их общих элементов, то есть

    АDВ={-3;-2;1}.    Ñ

 Замечание: Если уже найдены множества А\В,В\А, то для нахождения множества АDВ можно воспользоваться формулой: АDВ=(А\В)È(В\А).

Круги Эйлера. Алгебра множеств.

Для наглядного изображения соотношений между подмножествами некоторого универсального множества U используются круги Эйлера. Множество U обычно представляется множеством точек прямоугольника, а его подмножества изображаются кругами или другими простыми областями внутри этого прямоугольника. Непересекающиеся множества изображаются непересекающимися областями, а подмножествам соответствуют области, целиком располагающиеся внутри другой области. Дополнение множества А (до U), т.е. множество , изображается той частью прямоугольника, которая вне круга, изображающего .

Рассмотрим операции над множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

   


                                                 A ÇB                             A ÈB

Пусть А, В, СÎU, тогда имеют место следующие соотношения:

1a AÈB=BÈA

1b AÇB=BÇA (коммутативность)

2a AÈ(BÈC)=(AÈB)ÈC

2b AÇ(BÇC)=(AÇB)ÇC (ассоциативность)

3a AÇ(BÈC)=(AÇB)È(AÇC)

3b AÈ(BÇC)=(AÈB)Ç(BÈC) (дистрибутивность)

Законы поглощения:

4a (AÇB)ÈB=B

4b (AÈB)ÇB=B

5a (AÇ)ÈB=B

5b (AÈ)ÇB=B

Дополнительные свойства:

1a =U

1b =

2a AÈ=A

2b AÇU=A

3a AÈ=U

3b AÈ=A

4a =Ç

4b =È

Мощность множества.

Конечные множества можно сравнивать по количеству элементов, содержащихся в них. Для сравнения по насыщенности бесконечных множеств используется принцип сравнения. Между множеством точек гипотенузы прямоугольного треугольника и множеством точек катета можно установить соответствие таким образом, что каждой точке гипотенузы будет соответствовать точка катета и при этом разным точкам гипотенузы соответствуют разные точки катета. Соответствие устанавливается с помощью прямой, проведенной параллельно другому катету через взятую на гипотенузе точку М.

Определение. Говорят, что между элементами А и В установлено взаимно однозначное соответствие, если указано правило, по которому каждому элементу аÎА сопоставлен один элемент вÎВ, называемый образом а, причем выполнены следующие два условия: 1) любые два различные элемента из А имеют различные образы; 2) каждый элемент из В является образом некоторого элемента из А.

Определение. Два множества А и В называются эквивалентными или имеющими одинаковую мощность (обозначается А ~ В), если между их элементами может быть установлено взаимно однозначное соответствие.

Примеры эквивалентных бесконечных множеств:

1.          Множество N всех натуральных чисел и множество N1 всех целых отрицательных чисел эквивалентны: nÎN, -nÎN1, N~N1

2.          Множество N эквивалентно множеству P положительных четных чисел:

       nÎN, 2nÎP, N~P.

3.          Множество действительных чисел и множество чисел интервала G=(; -)

эквивалентны между собой. Эквивалентность этих множеств легко проверить с помощью соответствия у=tgx (xÎG,yÎR).

4.          Любые два отрезка эквивалентны между собой. Взаимно однозначное соответствие между точками отрезков ОА и ОВ устанавливается с помощью прямых, проводимых параллельно отрезку АВ. Способ установления взаимно однозначного соответствия между элементами (точками) показан на рисунке.

Два множества, порознь эквивалентные третьему, эквивалентны между собой: Если А~B и B~C, то А~B. Поэтому любой отрезок эквивалентен, например, отрезку [0;1].

Множества, эквивалентные множеству всех вещественных чисел из отрезка [0;1] называют множеством мощности континуум (сокращенно мощности С). Значит, множество чисел любого числового отрезка имеет мощность С. В частности, множество всех вещественных чисел R~(; -)~[0;1] имеет мощность С.