4. Гильбертовы пространства.

1.     Проверить, что следующие пространства являются гильбертовыми:

1)   l² со скалярным произведением (x,y)=å_k=1^¥x_k`y_k, где x={x₁,x₂,…}, y={y₁,y₂,…};

2)     L²(0,1) со скалярным произведением (x,y)=ò₀¹x(s)`y(s)ds.

Для указанных пространств доказать теорему Пифагора: если (x,y)=0 и z=x+y, то ||z||²=||x||²+||y||².

2.     Какие из указанных функционалов, действующих на соответствующих классах функций из L²(0,1), будут линейными; непрерывными?

1)   f[x(t)]=ò₀¹x(t)sintdt;

2)   f[x(t)]=ò₀¹x(t)sign(t-1/2)dt;

3)   f[x(t)]=x(1/2);

4)   f[x(t)]=ò₀^1/2x(t²)t^1/2dt;

5)   f[x(t)]=ò₀¹x(t)t^-1/3dt;

6)   f[x(t)]=ò₀¹x(t²)dt;

7)   f[x(t)]=ò₀¹|x(t)|dt;

8)   f[x(t)]=ò₀¹x²(t)dt;

9)   f[x(t)]=x¢(t₀);

10)          f[x(t)]=sup_t|x(t)|.

3.     Какие из указанных функционалов, действующих на соответствующих классах элементов из l², будут линейными; непрерывными?

1)   f(x)=å_k=1^¥x_ksink;

2)   f(x)= x_k;

3)   f(x)=å_k=1^¥x_ksign(k-n);

4)   f(x)=å_k=1^¥x_k²k^1/2;

5)   f(x)=å_k=1^¥x_kk^-1/2;

6)   f(x)=å_k=1^¥x_k²;

7)   f(x)= x_k-x_k-1;

8)   f(x)=å_k=1^¥|x_k|;

9)   f(x)=sup_k|x_k|;

10)          f(x)=å_k=1^¥|x_k| ².