3.     Линейные операторы и функционалы в нормированных пространствах.

1.     Являются ли линейными следующие функционалы в C[0,1]?

1)   F(x)=ò₀¹x(t)sintdt;

2)   F(x)=x(1/2);

3)   F(x)=ò₀¹x(t)sign(t-1/2)dt;

4)   F(x)= ò₀¹x(t²)t^1/2dt;

5)   F(x)= ò₀¹x(t)t^-1/3dt;

6)   F(x)= ò₀¹x(t²)dt;

7)   F(x)=x¢(t₀);

8)   F(x)=max_0£t£1x(t);

9)   F(x)= ò₀¹|x(t)|dt;

10)          F(x)= ò₀¹x²(t)dt.

Какие из этих функционалов непрерывны в C[0,1]? Вычислить их нормы.

Какие из этих функционалов непрерывны в L²(0,1)? Вычислить их нормы.

2.     Какие из следующих операторов являются непрерывными?

1)   A: Rⁿ®Rⁿ определен формулой y_i=åⁿ_k=1a_ikt_k, i=1,…,n;

2)   A: C[0,1]®C[0,1] определен формулой Ax(t)=ò₀^tx(t)dt;

3)     d/dt: C¹[0,1]®C[0,1];

4)     d/dt: C[0,1]®C[0,1] определен на множестве непрерывно дифференцируемых функций из C[0,1];

5)     A: C[0,1]®C[0,1] определен формулой Ax(t)=ò₀¹K(t,t)x(t)dt, где K(t,t) непрерывна на квадрате [0,1]´[0,1];

6)     A: L²(0,1)®L²(0,1) определен формулой Ax(t)=ò₀¹ K(t,t)x(t)dt, где K(t,t)ÎL²((0,1)´(0,1)).

3.     Доказать следующие утверждения:

1)     любой линейный оператор A: Rⁿ®R^m компактен;

2)     любой линейный оператор A: E₁®E₂ компактен, если E₁ – конечномерное пространство;

3)     любой ограниченный линейный оператор A: E₁®E₂ компактен, если E₂ – конечномерное пространство;

4)     линейный ограниченный оператор, образ которого лежит в конечномерном пространстве, компактен.

4.     Являются ли компактными следующие операторы в пространстве C[0,1]? В пространстве L²(0,1)?

1)   Ax(t)=ò₀¹x(s)ds;

2)   Ax(t)=ò₀¹x(s)|t-s|^-1ds;

3)   Ax(t)=ò₀¹x(s)(t-s)^-1ds;

4)   Ax(t)=ò₀¹x(s)|t-s|^-ads;

5)   Ax(t)=ò₀¹x(s)tg(|t-s|^-1/2)ds;

6)   Ax(t)=ò₀¹x(s)tg(p/2(t-s))ds;

7)   Ax(t)=ò₀¹x(s)|sint-sins|^-1/2ds;

8)   Ax(t)=ò₀¹x(s)(s-1/2)^-1ds;

9)   Ax(t)=ò₀¹x(s)(ts+t²s²)ds;

10)          Ax(t)=ò₀¹x(s²)ds;

11)          Ax(t)=x(t²);

12)          Ax(t)=x(s^1/2).