2.     Нормированные пространства.

1.     Показать, что пространства нормированы относительно указанных норм. Показать полноту каждого пространства.

1)   Rⁿ, ||x||=(åⁿ_k=1|x_k|²)^1/2;

2)   l^p, ||x||=(åⁿ_k=1|x_k|^p)^1/p, (1£p<¥);

3)   l^¥, ||x||=sup_k|x_k|;

4)   c, ||x||=sup_k|x_k|;

5)   l₀^¥, ||x||=sup_k|x_k|;

6)   L^p(a,b), ||x||=(ò_a^b|x(t)|^pdt)^1/p;

7)   C[a,b], ||x||=sup_a£t£b|x(t)|;

8)   L^¥(a,b), ||x||=esssup_a£t£b|x(t)|;

9)   B(R), ||x||=sup_tÎR|x(t)|;

10)          C^l[a,b], ||x||=å_k=0 ^lmax_a£t£b|x^(k)(t)|.

2. При каких p,q справедливо вложение l^pÌl^q?

3.    Доказать, что C[a,b] не полно по норме ||x||=ò_a^b|x(t)|dt.

4.     Доказать утверждения:

1)     конечномерное пространство полно;

2)     конечномерное подпространство нормированного пространства замкнуто.

5. Проверить, сеперабельны ли пространства:

1)   l^p, 1£p<¥;

2)   l₀^¥;

3)   l^¥;

4)   L^p, 1£p<¥;

5)   L^¥;

6)   Rⁿ;

7)   C[a,b];

8)   C^l[a,b]