1.     Метрические пространства.

1.     Доказать, что для любых четырех точек x,y,z,t  метрического пространства (X,r) справедливы неравенства:

1)   |r(x,z)- r(y,z)|£ r(x,y);

2)   |r(x,z)- r(y,t)|£ r(x,y)+r(z,t).

2.     Доказать, что аксиомы метрического пространства эквивалентны следующим двум аксиомам:

1)   r(x,y)=0Ûx=y;

2)   r(x,y)£ r(x,z)+ r(y,z).

3.  Пусть r(x,y) – метрика на множестве X. Доказать, что функции

r₁(x,y)= r(x,y)/(1+r(x,y)), r₂(x,y)=min{r(x,y), 1} являются метриками на X.

4.  Доказать, что следующие множества с заданными на них метриками являются полными метрическими пространствами.

1)  Множество l^p, p³1, числовых последовательностей  x=(x₁,x₂,…), удовлетворяющих условию å^¥_k=1|x_k|^p<¥, с метрикой 

              r(x,y)=( å^¥_k=1|x_k-y_k|^p)^1/p;

2)  множество  l^¥ всех ограниченных числовых последовательностей x=(x₁,x₂,…) с метрикой r(x,y)=sup_k| x_k-y_k|;

3)множество  l₀^¥ всех числовых последовательностей x=(x₁,x₂,…), стремящихся к нулю,  с метрикой r(x,y)=max_k| x_k-y_k|;

4)множество  s всех числовых последовательностей x=(x₁,x₂,…) с метрикой r(x,y)=å_k=1^¥2^-k| x_k-y_k|/(1+| x_k-y_k|);

5)множество C[a,b] всех непрерывных функций на отрезке  [a,b] с метрикой r(x,y)=max_tÎ[a,b]|x(t)-y(t)|;

6)множество C^m[a,b] всех функций на отрезке  [a,b], имеющих непрерывные производные до порядка m включительно, с метрикой r(x,y)=å_k=0^mmax_tÎ[a,b]|x^(k)(t)-y^(k)(t)|;

7)множество CB[a,b] всех ограниченных непрерывных функций на интервале  (a,b) с метрикой r(x,y)=sup_tÎ(a,b)|x(t)-y(t)|;

8)  множество B[a,b] всех ограниченных функций на интервале  (a,b) с метрикой r(x,y)=sup_tÎ(a,b)|x(t)-y(t)|;

9)множество L₂(a,b) функций x(t), удовлетворяющих условию ò_a^b|x(t)|²dt<¥, с метрикой r(x,y)= (ò_a^b|x(t)-y(t)|²dt)^1/2;

10)множество H¹[a,b] функций, удовлетворяющих на отрезке  [a,b]            условию Липшица |x(t₁)-x(t₂)|£C|t₁-t₂|, с метрикой r(x,y)= max_tÎ[a,b]|x(t)-y(t)|+sup_a£t1£t2£b|x(t₁)-y(t₁)-x(t₂)+y(t₂)|/|t₁-t₂|.

11) множество m ограниченных числовых последовательностей x=(x₁,x₂,…) с метрикой r(x,y)=sup_i|x_i-y_i|.

12) множество c сходящихся числовых последовательностей x=(x₁,x₂,…), где lim_i®¥x_i=a, с метрикой r(x,y)=sup_i|x_i-y_i|.

5. Являются ли следующие множества с заданными на них метриками полными метрическими пространствами:

1)   множество целых чисел с метрикой r(m,n)=|e^im-eⁱⁿ|;

2)     множество натуральных чисел с метрикой r(m,n)=1+1/(m+n), если m¹n, r(m,n)=0, если m=n;

3)   множество L_p(a,b) (p³1) функций x(t), удовлетворяющих условию ò_a^b|x(t)|^pdt<¥, с метрикой r(x,y)= (ò_a^b|x(t)-y(t)|^pdt)^1/p;

4)   множество C₁[0,1] с метрикой  r(x,y)=ò₀¹|x(t)-y(t)|dt;

5)   множество C_p[0,1] (p³1) с метрикой  r(x,y)= (ò₀¹|x(t)-y(t)|^pdt)^1/p;

6)   множество финитных числовых последовательностей с метрикой r(x,y)=max_k|x_k-y_k|?

6.     Будут ли указанные ниже множества метрическими пространствами:

1) множество всех действительных чисел с метрикой  r(x,y)=sin²(x-y);

2)множество всех действительных чисел с метрикой r(x,y)=|arctgx-arctgy|;

3) множество точек плоскости (x,y) с метрикой r(x,y)= | x₂-x₁|+| y₂-y₁|;

4)множество всех прямых на плоскости l: x×cosa+y×sina-p=0  с метрикой r(l₁,l₂)=| p₁-p₂|+| sina₁- sina₂|?