Глава 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ ЛИНЕЙНОЙ СИС0-ТЕМОЙ

Лекция №4.   

План лекции:

1.Преобразование сигналов линейной системы «вход-выход»

2.Операционный метод анализа линейных систем.

2.1. Соотношение «вход-вывод»

Системный подход, широко используется для описания процессов, происходящих в технических устройствах (и не только в технических), является наиболее общим методом построения математических моделей с возможностью предсказания результата на заданное воздействие. Технологический процесс может состоять из ряда этапов, или звеньев, описываемых тем или иным дифференциальным уравнением (системой дифференциальных уравнений». Если дифференциальное уравнение линейное, то и система называется линейной. Система, не являющаяся линейной, может быть в ряде случаев ……неорудована (   ). Звено системы осуществляет преобразованное одного процесса, называемого входным воздействием, в другой, называемый выходным реакцией или преобразователем «вход-вывод». Взаимодействия между звеньями определяет уже структуру системы.

2.2. Операционный метод анализа линейных систем

Пусть для описания линейных систем может быть построено линейное дифференциальное уравнение

.           (2.2)

Вводя в рассмотрение оператор дифференцирования , запишем уравнение (2.1) в операторной форме

,                                                      (2.3)

где                                  ;

.

Тогда  называется операторной передаточной функцией или оператором звена (   ).

Известно, что оператор Лапласа  при нулевых начальных условиях , обладаем ……….. .

Подействуем оператором Лапласа на обе части уравнения (2.3): , где , , откуда легко видеть, что комплексное передаточная функция звена находится как отношение -образов входа и выхода при нулевых начальных условиях.

.

Она может быть получена из операторий заменой оператора дифференцирования на комплексную переменную .

Таким образом, передаточная функция

является рациональной дробью с действительными коэффициентами , . Эта функция аналитическая и ограниченном в правой полуплоскости, а ее полюсы расположены в левой полуплоскости или на нижней оси. Передаточная функция зависит от комплексной частоты ; в частности, если ,    , где  называют амплитудной характеристикой, а  - фазовой характеристикой. Функция  характеризует уменьшение амплитуды синусоидального сигнала с частотой  при прохождении его через систему, а  описывает соответствующее смещение фазы того сигнала.

Функцию  называют амплитудно-частотной характеристикой звена.

Если  - финишная передаточной функции , то , где , , откуда , что дает явное выражение для преобразования вход-вывод через весовую функцию звена , с помощью которой взвешиваются значения входной переменной в целом в момент  для того, чтобы суммируясь, сформировать значение выхода в текущий момент .

С помощью этого соотношения легко рассчитать реакцию на любое входное воздействие.

Особый интерес представляет случай, когда это входное воздействие имеет вид функции Хевисайда, т.е. един…. Слайд:

.

Реакцию звена на такое воздействие называют со переходной функцией  , а ее изображение, очевидно, .

Уместно отметить, что в случае тождественного пре….дования  справедливо соотношение

,

так что  - функция есть весовая функции тождественно преобразования.

Итак, любая из функций , ,  полностью характеризует  функционирование звена как преобразование вход-выход при нулевых начальных условиях.

 

Контрольные вопросы:

1.Определить передаточную функцию звена.

2.Что называется весовой функцией звена?

3.Запишите преобразования «вход-выход» в виде свёртки весовой функции и входного воздействия.

4.Что представляет собой реакция звена на единичный скачок?