План лекции:
1.Гильбертово пространство.
2.Случайные сигналы как элементы гильбертова пространства.
1.3. Гильбертово пространство
Если в -мерном вектором пространстве
ввести скалярное произведение, оно превращается в евклидово
. Если аналогично выделить класс линейных пространств с элементами произвольной природы, в которых определенным образом задано скалярное перемножение, то такие пространства называют Гильбертовыми. Пространству Гильберта соответствует следующая система аксиом:
1.-линейное пространство произвольной природы.
2. соответствует вещественное или комплексное число
, называемое Скалярным произведением, удовлетворяющее следующим условиям:
а) ;
б) ;
в) ;
г) . Число
называют нормой элемента
.
3. Пространства полное, т.е. каждая функциональная последовательность имеет в нем предел.
Из рассмотренных выше пространств состояний наиболее простым примером гильбертова пространства является , где
, причем для любого элемента
ряд
сходится.
Метрина определяется формулой
.
Известно, что пространство полно
, откуда и следует гильбертовость.
Пространство или
является дискретной моделью пространства состояний беско…….. мерной системы. Пространство
является удобной моделью системы с непрерывными состояниями.
- гильбертово пространство, если
. Свойства а)-г) легко усматриваются из свойств интеграла Лебега. Можно показать, что пространство
полно для
.
Метрина может быть введена формулой:
.
1.4. Случайные сигналы как элементы гильбертовых пространств
Входные сигналы, преобразующие современными техническими системами, крану редко носят детерминированный характер. Случайный сигнал может быть определен как измеримое преобразование пространства элементарных событий в ось вещественных чисел. Тогда под распределением вероятностей случайного сигнала будем понимать следующую функцию:
W. Это означает, что для каждого измеримого множества
определена вероятность того, что случайная функция принимает значения, принадлежащие этому множеству. Далее легко определяется функция распределения (1) :
, математическое ожидание (1)
по вероятностной мере, или, что то же,
.
Таким образом, определено измеримое преобразование пространства элементарных событий
в функциональное пространство
. При каждом фиксированном
получаем функцию
, называемую реализующей случайного процесса. Поскольку случайные процессы протекают во времени,
, то мат.ожидание принимает вид:
.
Этот интеграл, зависит от времени, называется интегралом Бохнера.
Интеграл Бохнера существует, если пространство содержит счетное всюду плотное подмножество, а суммарная площадь, ограниченная амплитудами
, конечна:
,
где - норма (амплитуда) случайного сигнала в пространства
.
Наблюдение за случайными процессами, принимающими в одних и тех же условиях, приводят к известной идеализирующие этих процессов, предполагающей «однородность» этих процессов времени. Такие процессы принять называть стационарными. Для стационарных случается функции все одномерные функции распределения не зависят от времени, а двумерное могут зависеть только от разности , т.е.
.
Корреляционная теория стационарных случайных процессов опирается на вычисление двух основных характеристик математического ожидания и корреляционной функции
. Такая идеализация не может полностью описать все свойства процесса, но значительно упрощает описание случайных процессов с гауссовыми распределениями, наиболее распространенных на практике. Структура корреляционной функции позволяет дать ей следующее толкование. Сигналы
можно считать элементами гильбертова пространства
с нормой
, т.е. дисперсией случайного сигнала. Корреляционная функция является в этом случае скалярным произведением
и
=
, т.е.
.
Контрольные вопросы:
1.Система аксиом в пространстве Гильберта.
2.Интеграл Бохнера как измеримое преобразование.
3.Как определяется норма и скалярное произведение в гильбертовом пространстве случайных сигналов.