Лекция №2.

План лекции:

1.Мера и измеримость. Пространство функций, интегрируемых в смысле Лебега.

2.Системы множеств. Кольца и алгебры множеств.

3.Мера на кольцах.

4.Измеримые функции.

5.Интегралы Лебега.

1.2. Мера и измеримость.

Пространства функций интегрирующих в ……. Лебега

Известно, что основой языка современной математики является теория множеств. Георг Кантр впервые ввел в математику понятие эквивалентных множеств как получающихся одно из другого в результате биактивного отражения. Это послужило основой для определения мощности множества. С позиций конторовской теории гипотеза и контрпрямоугольного треугольника содержат одинаковое число точек, т.е. эквиваленты. Однако есть нечто, что отнимает гипотезу к ……… - это длина, т.е. мера.

Для точного определения меры и измеримости нам понадобится вспомогательные определения.

Системой множеств называется всякое множество, элементы которого сами представляют собой какие-либо множества.

Система множеств называется концом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) Æ

2) если , , .

Отсюда следует, в частности, что:

1. ,

2. Æ, так как Æ.

Множество I называется единицей системы множеств , если:

2) из того, что

Комуо множеств с единицей называется алгеброй множеств.

Таким образом, каждое комуо содержит пустое множество, а также сумму и произведение любого конечного числа своих элементов.

Комуо множеств называют -коумом, если вместе со счетной последовательностью оно содержит счетную сумму .

Поскольку интуитивно ясно, что понятие меры обобщаем понятие длины, площади и объема, целесообразно определить меру на элементарных множествах.

Множество {, где } назовем элементарным прямоугольником в . Естественно считать, что мера .

Справедливо следующее утверждение. Множество , представляющее собой совокупность множеств в , представленных в виде конечного объединения ………….. прямоугольников - кольцо: . Назовем его элементарным множеством.

Ясно, что при элементарный прямоугольник превращается в отрезок, мера его – длина; при элементарный прямоугольник – плоский прямоугольник, его мера – площадь; при элементарный прямоугольник - параллелепипед, его мера – объем.

Мерой элементарного множества будет называть

Идеологически очевидно понятие меры распространяется на любые множества и берется по всевозможным исчерпыванием множества конечными или счетными системами прямоугольников.

Итак, мерой называют…………… среднеедином определении на кольце множеств , для которого выполнение условия:

1. , если

2. Æ

3.если - система множеств: , то (В частности, система может быть и счетной, и тогда мера определяется на -кольце. Свойство носит название счетной аддитивности меры).

В частности, множества континуальной природы, очевидно приемлемы, а счетные множества имеют меру нуль. Каждое счетное множество является множеством ……… категории и множеством нуль.

Будем говорить, что некоторое условие выполняется почти всюду, если оно справедливо всюду, за исключением множества меры нуль.

Из определения меры следуют следующие свойства меры:

1. Если , причем , то

2. Если , то .

Сигналы, поступившие на вход динамических систем, носят часто ступенчатый характер, или моделируются, как мы видим, счетными последовательностями, поэтому возникает необходимость в более общем понятии интеграла от измерений функции, чем интеграл Римана.

Функцию называем измерением, если измеримое множество

Рис.4

Из определения измеримости легко ус………..ваются следующие свойства:

1) непрерывная функция измерима;

2) композиция непрерывной и измеряет функции измерима;

3) измеримость – инертное свойство, т.е. функция - измерима;

4) произведение и частное измеримых функций измеримо.

Пусть измерима на отрезке со значениями в , так что

Пусть .

Назовем интегральной суммой - приведенная мера множества на напряженное число из соответствующих отрезков.

Интегралом Лебега функции на отрезке называется точная верхняя грань суммы :

Нижние интегральные сумму существуют, так как в силу измеримости функции выражение имеет ……………..

Из очевидной оценки

Следует существование точек верхней граней этих сумм, т.е. интервала Лебега.

Следует заметить, что из существования интеграла Римана следует существование интеграла Лебега, но не наоборот. Так, функции Дирехле, очевидно,

не интегрируется по Риману, однако ее интервал Либега равен нулю, так как множество рациональных чисел и его мера равна нулю.

Если функция измерима и интегрируема по Лебегу в степени на , то ее относят к классу . можно превратить в линейное нормированное пространство, если ввести норму

Множество , очевидно, замкнуто относительно линейных операций, а нулевым элементом является

В частности, если в примере 1.3 сигналы непрерывны, то в выражении нормы сумма переходит в интеграл

- энергия электрического тока , выделенная на единице сопротивления. При норма эквивалентна заряду, накопленному на единичной емкости в результате прохождения тока .

Если , а почти всюду ограничена, норму можно ввести как , т.е. как наименьшее число , для которого неравенство выполнено почти всюду. В этом случае говорят, что функция принадлежит к классу . Можно получить, что . Таким образом, норма в пространстве является моделью «амплитуды» функции, в частности, амплитуды колебаний электрического тока, если пренебречь множествами нулевой меры этой функции.