ПРОГРАММА По высшей математике для студентов 1 курса заочного факультета (1 семестр) 1. Определители. Определители второго порядка и их свойства. Определители третьего порядка и их свойства Применение определителей к исследованию и решению систем линейных уравнений. 2. Векторная алгебра. Скалярные и векторные величины. Модуль вектора. Единичный вектор. Коллинеарные и равные вектора. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Основные теоремы о проекциях. Проекции вектора на оси координат. Разложение вектора по двум и трем взаимно перпендикулярным направлениям. Направляющие косинусы. Деление отрезка. Линейные операции над векторами, заданными координатами. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Векторное произведение двух векторов , заданных координатами. Приложение векторного произведения к задачам геометрии и механики. Смешанное произведение трёх векторов и его геометрический смысл. Условие комланарности трёх векторов. 3. Аналитическая геометрия на плоскости. Различные уравнения прямой: уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору; общее уравнение прямой и его исследования, уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении; уравнение прямой, проходящей через две данные точки; уравнение прямой в отрезках. 4. Аналитическая геометрия в пространстве. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости и его исследования. Угол между плоскостями. Условия параллельности, перпендикулярности двух плоскостей. Уравнение плоскости в отрезках. Расстояние от точки до плоскости. Пучок и связка плоскостей. 5. Элементы линейной алгебры. Матрицы, определения. Структура матрицы. Символика. Частные виды матриц: квадратная, нулевая, диагональная, единичная, матрица-строка, матрица-столбец. Транспонирование матрицы. Условие равенства двух матриц. Свойства сложения матриц: ассоциативность, дистрибутивность. Умножение матрицы на число. Свойства умножения матрицы на число. Умножение матриц. Свойства умножения матриц. Определители матриц. Умножение матрицы на единичную. Обратная матрица, определение, условие существования. Матричный метод решения системы линейных уравнений. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли ( теорема о совместимости систем уравнений первой степени). Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решения. Линейные пространства и линейные операторы. Определение линейного пространства. Размерность линейного пространства. Базис координаты векторов в n – мерном линейном пространстве. Преобразование координат векторов при изменении базиса. Подпространство линейного пространства. Линейные операторы. Представление линейного оператора в данном базисе. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов. 6. Преобразование системы координат. Преобразование системы координат: параллельный перенос осей координат и поворот координат. Полярная система координат. Связь между прямоугольными и полярными координатами. Уравнение некоторых линий в полярной системе координат( прямая линия, спираль Архимеда, кардиоида, окружность). 7. Кривые второго порядка . Окружность и её уравнение. Эллипс и его уравнение. Исследование формулы эллипса по его уравнению, построение эллипса. Эксцентриситет, директрисы, фокальные радиусы эллипса. Гипербола и её уравнение. Исследование формы гиперболы по её уравнению. Парабола , её определение и уравнение. Исследование формы параболы по её уравнению. Уравнение кривых второго порядка с осями симметрии , параллельными координатным осям. Уравнения кривых второго порядка общего вида. 8. Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности. Сфера. Эллипсоид. Однополостный и двуполостный гиперболоиды. Параболоид. Поверхности вращения. Гиперболический параболоид. Коническая поверхность. 9. Функции. Числа. Абсолютная величина действительного числа. Постоянные и переменные величины. Определение функции. Способы задания функции. Область существования функций. Понятие обратной функции. Сложная функция. Неявная функция. Элементарные функции, их свойства и графики. 10. Числовые последовательности. Основные понятия . Геометрическое изображение последовательности. Предел последовательности. Бесконечно малая и бесконечно большие последовательности. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми. Основные теоремы о пределах последовательностей. Число е. Предел функции. Определение предела функции. Основные теоремы о пределах функции. Бесконечно малые функции, их свойства. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми. Односторонние предлы функции. Первый и второй замечательный пределы. Сравнение бесконечно малых. 11. Дифференциальное исчисление. Задачи, приводящие к понятию производной ( о касательной к кривой , о скорости). Определение производной, геометрический и механический смысл. Общее правило нахождения производной. Непрерывность и дифференцируемость. Производная суммы, произведения, частного. Производная сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций ( степенной, показательной, логарифмической , тригонометрических, обратных тригонометрических).
|