Главная страница

О курсе

Введение

Программа по курсу математики для студентов второго курса заочного факультета

Литература

Задания для контрольных работ

Методические указания к выполнению контрольных работ



IV. Теория функций комплексного переменного




Задание 1. Даны: z1 = - 1 + i , z2 = 3i ,z3 = 2 - i ,z4 = 5 ,z5 = - 2i ,z6 = i - 2 ,z7 = 3 - 7i ,z8 = i ,z9 = 8i - 4.


Задание 2. Возвести комплексное число z в степень:


Задание 3. Найти корни уравнения:
  1. z4 + 4z2 + 3 = 0;
  2. z4 - 6iz2 - 8 = 0;
  3. z6 - 5z3 + 6 = 0;
  4. z8 - z4 - 8 = 0;
  5. z4 - 6z2 + 45 = 0;
  6. z6 + 4z3 + 3 = 0;
  7. z4 + iz2 + 2 = 0;
  8. z6 + 2z3 - 15 = 0;
  9. z4 - 3z2 - 4 = 0;
  10. z4 - 3iz2 - 2 = 0;


Задание 4. Вычислить значение функции W = f (z) в точке z0 :
  1. W = ez + 1 / z, z0 = 2 + i ;
  2. , z0 = 1 - i ;
  3. W = ln z + z3, ;
  4. W = sin 2z + cos z + z2, z0 = 2 - i ;
  5. ;
  6. ;
  7. ;
  8. , z0 = 2 + 3i;
  9. W = sh( z + i) + z3, ;
  10. , z0 = 1 + i.


Задание 5. Проверить выполнение условий Коши-Римана и там, где они выполняются, найти производную:
  1. f (z) = cos (iz);
  2. ;
  3. ;
  4. f (z) = ch z;
  5. f (z) = z ez;
  6. f (z) = z Rez;
  7. ;
  8. , где z = r eik
  9. f (z) = e3z;
  10. f (z) = iz2 - 3z + 1.


Задание 6. Вычислить интегралы:
  1. ,где l - отрезок прямой от точки z0 = i до точки z1 = 1;
  2. ,где l - дуга параболы y = 2x2 от точки z0 = 0 до точки z1 = 1 +2i;
  3. ,где l - дуга окружности |z| = 3 от точки z0 = 3 до точки z1 = 3e2i;
  4. ,где l отрезок прямой от точки z0 = i до точки z1 = + i;
  5. ,где l отрезок прямой от точки z0 = (1/2)( - i) до точки z1 = (1/2)( + i);
  6. ,где l дуга параболы y =2x2 от точки z0 = 0 до точки z1 = 1 + 2i;
  7. ,где l отрезок прямой от точки z0 = 0 до точки z1 = 1 + i;
  8. , где l - часть окружности |z| = 2 ;
  9. ,где l дуга окружности |z| = 1 от точки z0 = 1 до точки z1 = e2i;
  10. ,где l отрезок прямой от точки z0 = 0 до точки z1 = - i;


Задание 7. Получить разложение в ряд Лорана функции f(z) по степеням z - z0 в области D . Выписать значение вычета.
  1. f(z) = 1 / (z - 3) + 3 / (z - 6), z0 = 4; D : 1 < |z - 4| < 2;
  2. f(z) = 1 / (z + 2) +1 / (z + 5), z0 = - 3; D : 1 < |z + 3| < 2;
  3. f(z) = 1 / (z + i) - 3 / (z + 4i), z0 = - 2i; D : 1 < |z + 2i| < 2;
  4. f(z) = 1 / (z + 2i) + 1 / (z + 6i), z0 = - 3i; D : 1 < |z + 3i| < 2;
  5. f(z) = 2i / (z + 3) + 3 / (z + 6), z0 = - 4; D : 1 < |z + 4| < 2;
  6. f(z) = 1 / (z - i) + 2i / (z - 4i), z0 = 2i; D : 1 < |z - 2i| < 2;
  7. f(z) = i / (z + 2) + 2 / (z + 7), z0 = - 4; D : 1 < |z + 4| < 3;
  8. f(z) = 3i / (z - i) + 2 / (z - 5i), z0 = 2i; D : 1 < |z - 2i| < 3;
  9. f(z) = 3 / (z + 4) + i / (z + 8), z0 = - 5; D : 1 < |z + 5| < 3;
  10. f(z) = i / (z - 1) + 2 / (z - 8), z0 = 4; D : 3 < |z - 4| < 4;


Задание 8. Определить тип всех особых точек и вычислить вычет функции, найти вычет в бесконечно удалённой точке.