Главная страница

О курсе

Введение

Программа по курсу математики для студентов второго курса заочного факультета

Литература

Задания для контрольных работ

Методические указания к выполнению контрольных работ



II. Кратные и криволинейные интегралы




Задание 1. Изменить порядок интегрирования. Области интегрирования изобразить на чертеже.


Задание 2. Вычислить двойной интеграл по области (D), ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.
  1. (xy - 3x5y2)dxdy, D: y = - x2, y = | x |, x = 1.
  2. (5x2y + x3y3)dxdy, D: y = - x2/2, y = x.
  3. 3yexy/4dxdy, D : y = e, y = ln 5, x = 4, x = 8.
  4. (3x4y2 - 10xy)dxdy, D : y = x2, y = - x.
  5. y sin(2xy)dxdy, D : y = /2 , y = 3/2, x = 1/2, x = 2.
  6. y2e- xydxdy, D : x = 0, y = 1, y = x/2.
  8. (4xy + x4y5)dxdy, D : y = x2, y = - | x |, x = - 1.


Задание 3. Вычислить тройной интеграл по области (V), заданной поверхностями. Сделать чертёж.
  1. 2y2exydxdydz, где V: x = 0, y = 1, y = x, z = 0, z = 1.
  2. 3(y2 + z)dxdydz, где V: x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, z = x + y.
  3. y2z cos(xyz)dxdydz, где V: x = 1, y = 2x, y = 0, z = 0, z = 36.
  4. (x + y - z)dxdydz, где V: x = - 1, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 2.
  5. y2exy/2dxdydz, где V: x = 0, y = 2, y = 2x, z = 0, z = - 1.
  6. (5x + 6z)dxdydz, где V: x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.
  7. 2y2zexyzdxdydz, где V: x = 1, y = 1, z = 1, x = 0, y = 0, z = 0.
  8. (x2+4y2)dxdydz, где V: z = 2x + y, x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0.
  9. 7xzdxdydz, где V: y = x, y = 0, x = 2, z = xy, z = 0.
  10. x2 sin ((xy)/2)dxdydz, где V: x = 2, y = x, y = 0, z = 0, z = .


Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (перейти к полярным координатам), сделать чертеж.
  1. x2 - 6x + y2 = 0; y = x /;
    x2 - 10x + y2 = 0; y = x.
  2. y2 - 2y + x2 = 0; y = x /;
    y2 - 10y + x2 = 0; x = 0.
  3. x2 - 4x + y2 = 0; y = 0;
    x2 - 8x + y2 = 0; y =x.
  4. y2 - 4y + x2 = 0; y = x;
    y2 - 2y + x2 = 0; x = 0.
  5. x2 - 2x + y2 = 0; y = 0;
    x2 - 6x + y2 = 0; y = x.
  6. (x2 + y2)2 = 2(x2 - y2), x2 + y2 = 1, (вне круга)
  7. (x2 + y2)2 = 4xy, x2 + y2 =, (вне круга)
  8. (x2 + y2)2 = 3(x2 - y2), x2 + y2 = 3, (вне лемнискаты)
  9. (x2 + y2)2 = 4(x2 - y2), x2 + y2 = 2, (вне круга)
  10. (x2 + y2)2 = 8xy, x2 + y2 = 4, (вне лемнискаты).


Задание 5. Вычислить объём тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертёж.
  1. z = 0, y = 0, x = 0, x + y = 1, z = x2 + y2.
  2. z = 0, y = 0, z = 4 - x - y, y = 0, x2 + y2= 4.
  3. z = 0, y + z = 2, x2 + y2= 4.
  4. z = 0, x2 + y2 = z, x2 + y2= 4.
  5. z = x2 + y2, y = x2, y = 1, z = 0.
  6. z = 0, z = 9 - x2, x2 + y2= 9.
  7. z = 0, z = y2, x2 + y2= 9.
  8. z = 0, x = 0, y = 0, x + y + z = 1.
  9. z = 0, x = 0, y = 0, x + y = 1, z = 2 - x - y.
  10. z = 0, z = 4, x = 0, x + y = 4.


Задание 6. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями.
  1. x2 + y2 + z2 = 4, z 0.
  2. x2 + y2 = 2z, z = 1.
  3. x2 + y2 + z2 = 2, x2 + y2 = z2, z 0.
  4. z = 1 - x2 - y2, z = 0.
  5. z = 1 + x2 + y2, z = 5.
  6. z = , z = x2 + y2.
  7. z = 8 - x2 - y2, z = -1.
  8. z2 = x2 + y2, z =
  9. x2 + y2 + z2 = 1, z (x2 + y2)/2, z 0.
  10. x2 + y2 + z2 = 25, z 0.


Задание 7. Вычислить криволинейный интеграл I рода (по длине дуги).
  1. (x - y)dl, где Z - отрезок прямой между точками А(0;0) и B(0;0).
  2. dl / (x2 + y2 + z2), где Z – дуга первого витка кривой
  3. y / x dl, где Z – дуга параболы y = x2/2 от точки A(1;1/2) до точки B(2;2).
  4. xy dl, где Z – четверть окружности , лежащая в первой четверти.
  5. где Z – отрезок прямой между точками A(-1;0) и B(0;1).
  6. (x2 + y2 + z2)dl, где Z – дуга винтовой линии
  7. y dl, где Z – дуга параболы y2 = 2x от точки О (0;0) до точки А(4;).
  8. где Z – дуга линии
  9. где Z – дуга линии y2 = 4x от точки А (1;2) до точки В(4;4).
  10. x dl, где Z – дуга линии


Задание 8.Найти работу силы F при перемещении вдоль линии Z от точки М к точке N.

  1. F = - y + x ; Z : y = x3, M(0;0), N(2;8).
  2. F = (x + y) + (x - y); Z : x2 + (y2) / 9 = 1, (x 0, y 0, ) M(1;0), N(0;3).
  3. F = (x2 + 2y) + (y2 + 2x); Z : y = 2 - x2 / 8, M(- 4;0), N(0;2).
  4. F = 2x - (x + 2y); где Z – отрезок прямой MN, M(-1;0), N(1;2).
  5. F = xy ; Z : y = sin x, M(;0), N(0;0).
  6. F = (x2 - 2y) + (y2 - 2x) ; где Z – отрезок прямой MN, M(-4;0), N(0;2).
  7. F = (x + y) + (x - y) ; Z : y = x2, M(-1;1), N(1;1).
  8. F = x3 - y3; Z : x2 + y2 = 4, (x 0, y 0, ) M(2;0), N(0;2).
  9. F = x2y - y; где Z – отрезок прямой MN, M(-1;0), N(0;1).
  10. F = (xy - x) + (x2 / 2); Z : x2 / 9 + y2 / 4 = 1, (y 0), M(3;0), N(- 3;0).