Контрольная работа № 1
Задача 1. Даны четыре точки А(х1 , y1 , z1 ); B ( x2 , y2 , z2 ); C (х3 , y3 , z3 ) и D (х4 , y4 , z4 ). Найти: а) Модуль вектора б) Проекцию вектора в) Скалярное произведение векторов г) Площадь треугольника АВС. д) Объем пирамиды ABCD .
1. А (1;3;1); В (2;3;-2); С (-1;2;1); D (1;3;2) 2. А (2;-1;1); В (5;5;4); С (3;2;-1); D (4;1;3) 3. А (1;0;1); В (3;2;4); С (-1;4;4); D (1;1;3) 4. А (2;-1;-1); В (5;5;4); С (3;2;-1); D (9;0;1) 5. А (2;3;1); В (4;1;-2); С (6;3;7); D (-5;-4;8) 6. А (2;0;0); В (0;3;0); С (0;0;6); D (2;3;8) 7. А (1;3;1); В (2;1;-1); С (-1;2;-2); D (1;1;1) 8. А (5;1;-4); В (1;2;-1); С (3;3;-4); D (2;2;2) 9. А (2;1;-3); В (3;-1;3); С (1;-2;4); D (2;-1;3) 10. А (1;2;3); В (9;6;4); С (3;0;4); D (5;2;6)
Задача 2. Решить систему уравнений методом Крамера и матричным методом с помощью обратной матрицы.
Задача 3. 1. а) Найти уравнение сторон треугольника, вершины которого А (1;–3); В (3;5); С (–7;11). б) Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана вершина прямоугольного угла т уравнение гипотенузы 3х – y + 2 = 0. в) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (–1;2;3) параллельно г) Найти острый угол между прямыми: д) Найти проекцию М (5;2;–1) на плоскость
2. а) Уравнения сторон треугольника АВС известны: б) Даны вершины четырехугольника А (2;2); В (5;1); С (3;6); D (0;3). Найти точку пересечения его диагоналей. в) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (1;–2;3) параллельно г) Найти параметрические уравнения прямой, проходящей через М (1;3;–2) параллельно прямой д) Найти точку симметричную точке А (5;–4;–2) относительно плоскости
3. а) Даны уравнения двух сторон параллелограмма б) Составить уравнения перпендикуляров, проведенных к серединам сторон треугольника АВС : А (1;7); В (4;–3); С (0;1). в) Найти уравнение плоскости, проектирующей прямую г) Найти угол между прямыми: д) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;1;3) перпендикулярно прямой
4. а) Составить уравнение геометрического места точек плоскости, равноотстоящих от точек М (1;5) и N (3;–3). б) Даны две вершины А (–2;1); В (3;–4) и точка М (5;–1) пересечения его высот. Найти уравнения всех сторон треугольника. в) Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую г) Найти канонические и параметрические уравнения прямой д) Найти уравнения прямой, проходящей через точку А(3;1;–2) и точку пересечения прямой
5. а) Даны вершины треугольника А (–2;1); В (1;3) и С (4;–1). Через каждую из них провести прямую, параллельную противолежащей стороне. б) Дана прямая в) Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М 1 (–1;2;–3), М 2 (1;4;–5) и перпендикулярной плоскости г) Найти канонические и параметрические уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей д) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;–4;–2) и перпендикулярно прямой
6. а) Показать, что прямые б) Найти проекцию точки А (1;2) на прямую в) Найти острый угол между плоскостями: г) Найти острый угол между прямыми: д) Найти точку пересечения прямой
7. а) Даны уравнения высот треугольника б) Найти точку, симметричную точке А (3;–2) относительно прямой в) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (1;1;1) параллельно прямым г) Найти угол между прямыми: д) Найти уравнения перпендикуляра к плоскости
8. а) Даны две вершины треугольника А (–4;3); В (4;–1) и точка пересечения высот М (3;3). Найти третью вершину С и площадь треугольника. б) Дана прямая в) Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А (1;2;3); В (3;–2;1); С (0;–1;2). г) Найти прямую, проходящую через точку М (–1;2;2) параллельно прямой д) Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
9. а) Даны уравнения двух сторон треугольника б) Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых в) Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые г) Найти каноническое и параметрическое уравнения прямой д) Найти расстояние от точки М (1;–1;2) до прямой
10. а) Найти точку, симметричную точке Р (–6;4) относительно прямой б) Даны стороны треугольника в) Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М (1;2;3) и N (2;–1;3) параллельно вектору г) Найти угол между прямыми: д) Доказать, что прямая
Задача 4. Даны уравнения кривых. Привести их к каноническому виду и построить.
|