Экзаменационная программа по математике для студентов 1-го курса заочного факультета

 

Определители

Определители 2-го порядка, их вычисления и свойства. Определители 3-го порядка, их свойства и вычисления. Применение определителей к исследованию и решения систем линейных уравнений.

Векторная алгебра

Скалярные и векторные величины. Модуль вектора Единичный вектор Коллинеарные и равные векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Основные теоремы о проекциях. Проекция вектора на оси координат. Разложение вектора по двум и трем взаимно перпендикулярным направлениям Направляющие косинусы. Деление отрезка. Линейные операции над векторами, заданными координатами. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Скалярное произведение двух векторов, заданных координатами. Приложения скалярного произведения двух векторов к задачам геометрией механики. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Векторное произведение двух векторов, заданных координатами. Приложения векторного произведения к задачам геометрии и механики. Смешанное произведение 3-х векторов и его геометрический смысл. Условие компланарности трех векторов.

Элементы линейной алгебры

Матрицы, основные определения. Виды матриц. Транспонирование матриц. Условия равенства двух матриц. Основные операции над матрицами: сложение, вычитание, умножение на число. Умножение матриц. Определитель матрицы. Обратная матрица.

Матричный метод решения систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капели. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений. Линейные пространства и линейные операторы. Размерность линейного пространства.

Преобразования системы координат: параллельный перенос и поворот осей координат. Полярная система координат. Связь между прямоугольными и полярными координатами. Уравнения некоторых линий в полярной системе координат (прямая линия, спираль Архимеда, окружности, кардиоида).

Кривые второго порядка

Окружность и ее уравнения. Эллипс и его уравнение. Исследование формы эллипса по его уравнению, построение эллипса. Эксцентриситет, директрисы, фокальные радиусы эллипса. Гипербола и ее уравнение. Исследование формы гиперболы по ее уравнению. Эксцентриситет, директрисы, асимптоты гиперболы. Парабола и ее уравнение. Различные виды парабол. Исследование формы параболы по ее уравнению. Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными осям координат.

Поверхности второго порядка

Цилиндрические поверхности второго порядка. Сфера. Эллипсоид. Однополостный и двуполостный гиперболоиды. Параболоид. Поверхности вращения. Гиперболический параболоид. Коническая поверхность.

Функции

Числа. Абсолютная величина действительного числа. Постоянные и переменные величины. Определение функции. Способы задания функции. Область существования функции. Классификация функций. Сложная и обратная функции. Элементарные функции, их свойства и графики.

Числовые последовательности. Геометрическое изображение последовательности. Предел последовательности. Бесконечно большие и малые последовательности. Основные теоремы о пределах последовательности. Предел функции, определение и геометрическое изображение. Основные теоремы о пределах функций. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Односторонние пределы функции. Первый и второй замечательные пределы функции. Сравнение бесконечно малых.

Непрерывные функции

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций непрерывных на сегменте.

Дифференциальное исчисление

Задачи, приводящие к понятию производной (о касательной к кривой и о скорости). Определение производной, ее геометрический и механический смысл. Общее правило нахождения производной. Непрерывность и дифференцируемость. Производная постоянной, аргумента, суммы, произведения, частного функций. Производная сложной и обратной функции. Производная основных элементарных функций (степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических). Производная функций, заданных неявно и параметрически. Уравнение касательной к кривой и нормали. Производные высших порядков.