Контрольная работа № 1

 

Задача 1. Даны четыре точки А(х1 , y1 , z1 ); B ( x2 , y2 , z2 ); C (х3 , y3 , z3 ) и D (х4 , y4 , z4 ). Найти:

а) Модуль вектора и направляющие косинусы.

б) Проекцию вектора на вектор и проекцию вектора (2 + ) на вектор .

в) Скалярное произведение векторов и , и угол между ними.

г) Площадь треугольника АВС.

д) Объем пирамиды ABCD .

 

1. А (1;3;1); В (2;3;-2); С (-1;2;1); D (1;3;2)

2. А (2;-1;1); В (5;5;4); С (3;2;-1); D (4;1;3)

3. А (1;0;1); В (3;2;4); С (-1;4;4); D (1;1;3)

4. А (2;-1;-1); В (5;5;4); С (3;2;-1); D (9;0;1)

5. А (2;3;1); В (4;1;-2); С (6;3;7); D (-5;-4;8)

6. А (2;0;0); В (0;3;0); С (0;0;6); D (2;3;8)

7. А (1;3;1); В (2;1;-1); С (-1;2;-2); D (1;1;1)

8. А (5;1;-4); В (1;2;-1); С (3;3;-4); D (2;2;2)

9. А (2;1;-3); В (3;-1;3); С (1;-2;4); D (2;-1;3)

10. А (1;2;3); В (9;6;4); С (3;0;4); D (5;2;6)

 

 Задача 2. Решить систему уравнений методом Крамера и матричным методом с помощью обратной матрицы.

1. 2х1 + х2 – х3 = 0;

х1 – х2 – 3х3 = 13;

3х1 – 2х2 + 4х3 = –15

 

2. х1 + 3х2 – 3х3 = 13;

2х1 – 3х2 – 3х3 = –10;

х1 + х3 = 0

3. 2х1 – х2 + х3 = –4;

3х1 + х2 – х3 = –1;

4х1 – 2х2 + 3х3 = –7

 

4. 2х1 + х3 = 6;

2х2 – х3 = 2;

3х1 – 4х2 = –2

5. 2х1 – 4х2 + х3 = 3;

х1 – 5yх2 + 3х3 = 1;

х1 – х2 + х3 = 1

 

6. 3х1 – 4х2 + 4х3 = 7;

5х1 – 3х2 + 4х3 = 11;

х1 – 2х2 + 2х3 = 3

7. 2х1 + 5х2 – х3 = 10;

х1 + х3 = 1;

2х1 – 2х2 – 10х3 = 1

 

8. 2х2 + 3х3 = 5;

х1 + х2 – 2х3 = 1;

2х1 + х2 – х3 = 10

9. х1 – 3х2 + 4х3 = 1;

х1 + 2х2 – х3 = 5;

х1 + х3 = 0

10. х1 + 5х2 – х3 = 0;

4х1 + х2 – 2х3 = 1;

х1 – 3х2 + х3 = 10

 

Задача 3.

1. а) Найти уравнение сторон треугольника, вершины которого А (1;–3); В (3;5); С (–7;11).

б) Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана вершина прямоугольного угла т уравнение гипотенузы

3х y + 2 = 0.

в) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (–1;2;3) параллельно .

г) Найти острый угол между прямыми: и

д) Найти проекцию М (5;2;–1) на плоскость .

 

2. а) Уравнения сторон треугольника АВС известны: ; Найти длины высот этого треугольника и их уравнения.

б) Даны вершины четырехугольника А (2;2); В (5;1); С (3;6); D (0;3). Найти точку пересечения его диагоналей.

в) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (1;–2;3) параллельно

г) Найти параметрические уравнения прямой, проходящей через М (1;3;–2) параллельно прямой .

д) Найти точку симметричную точке А (5;–4;–2) относительно плоскости .

 

3. а) Даны уравнения двух сторон параллелограмма и точка пересечения его диагоналей М (1;2). Найти уравнения двух других сторон параллелограмма.

б) Составить уравнения перпендикуляров, проведенных к серединам сторон треугольника АВС : А (1;7); В (4;–3); С (0;1).

в) Найти уравнение плоскости, проектирующей прямую на плоскости .

г) Найти угол между прямыми: и .

д) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;1;3) перпендикулярно прямой .

 

4. а) Составить уравнение геометрического места точек плоскости, равноотстоящих от точек М (1;5) и N (3;–3).

б) Даны две вершины А (–2;1); В (3;–4) и точка М (5;–1) пересечения его высот. Найти уравнения всех сторон треугольника.

в) Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой .

г) Найти канонические и параметрические уравнения прямой

д) Найти уравнения прямой, проходящей через точку А(3;1;–2) и точку пересечения прямой и плоскости .

 

5. а) Даны вершины треугольника А (–2;1); В (1;3) и С (4;–1). Через каждую из них провести прямую, параллельную противолежащей стороне.

б) Дана прямая . Через точку А (1;5) провести прямую параллельно данной и перпендикулярно к ней.

в) Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М 1 (–1;2;–3), М 2 (1;4;–5) и перпендикулярной плоскости .

г) Найти канонические и параметрические уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей .

д) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;–4;–2) и перпендикулярно прямой .

 

6. а) Показать, что прямые и параллельны и найти расстояния между ними.

б) Найти проекцию точки А (1;2) на прямую .

в) Найти острый угол между плоскостями:

г) Найти острый угол между прямыми: и .

д) Найти точку пересечения прямой с плоскостью .

 

7. а) Даны уравнения высот треугольника и координаты одной из его вершин А (1;2). Найти уравнения сторон треугольника.

б) Найти точку, симметричную точке А (3;–2) относительно прямой .

в) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (1;1;1) параллельно прямым и .

г) Найти угол между прямыми: и

д) Найти уравнения перпендикуляра к плоскости , проходящего через точку М (2;–1;3), и определить координаты основания этого перпендикуляра.

 

8. а) Даны две вершины треугольника А (–4;3); В (4;–1) и точка пересечения высот М (3;3). Найти третью вершину С и площадь треугольника.

б) Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (2;1) под углом 45? к данной прямой.

в) Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А (1;2;3); В (3;–2;1); С (0;–1;2).

г) Найти прямую, проходящую через точку М (–1;2;2) параллельно прямой .

д) Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М (1;–1;2).

 

9. а) Даны уравнения двух сторон треугольника . Известно, что точка М (–1;–1) является точкой пересечения его медиан. Найти уравнение третьей стороны треугольника.

б) Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых параллельно прямой .

в) Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и .

г) Найти каноническое и параметрическое уравнения прямой .

д) Найти расстояние от точки М (1;–1;2) до прямой .

 

10. а) Найти точку, симметричную точке Р (–6;4) относительно прямой .

б) Даны стороны треугольника . Найти его внутренние углы.

в) Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М (1;2;3) и N (2;–1;3) параллельно вектору .  

г) Найти угол между прямыми: и .

д) Доказать, что прямая и плоскость параллельны.

 

Задача 4. Даны уравнения кривых. Привести их к каноническому виду и построить.

1.а)

б)

2.а)

б)

3.а)

б)

4.а)

б)

5.а)

б)

6.а)

б)

7.а)

б)

8.а)

б)

9.а)

б)

10.а)

б)