Лекция 8.  Линейные пространства.

Пусть L – произвольное множество. Элементы L обозначим x,y,z,…. Существуют различные множества (с элементами разной природы), в которых определены две операции (их принято называть сложением и умножением на число), обладающие определенным набором свойств. В каждом конкретном множестве эти операции определяются по-своему, но независимо от этого, обладают соответствующими свойствами операций сложения обычных геометрических векторов и умножения их на число. Такие множества имеют целый ряд общих свойств, обусловленных общими законами, которым подчиняются упомянутые операции, независимо от конкретного правила, которым они вводятся в конкретном множестве. Их принято называть линейными пространствами. Элементы линейного пространства  называют векторами или точками пространства (независимо от природы этих элементов), поэтому линейные пространства называют также векторными пространствами, на которых определены операции сложения элементов и умножения элементов на число со свойствами:

1)  для  х₁, х₂ Є L справедливо свойство х₁ + х₂ = х₂ + х₁  (коммутативность),

2)  для  х₁, х_2, х₃ Є L имеем  (х₁+ х₂)+х₃ = х₁+(х₂+х₃) (ассоциативность),

3)  $ qÎL так что q +x = x +q=x, для "xÎL (q- называют нулем пространства и обозначают как 0),

4) для " xÎL  $ (-x) такой, что x+(-x)=0,

5) для " a,bÎR  $ xÎL такой, что a(bx)=(ab)x,

6) для " a,bÎR  $ xÎL такой, что (a+b)x=ax+bx,

7) для " a,bÎR и " x₁, x₂ÎL выполняется равенство a(x₁+x₂)=ax₁+ax,

8) для " xÎL выполняется :1×x=x.

Определение 1. Линейной комбинацией (линейной алгебраической суммой) элементов х₁,х₂,…х_n Î L называется сумма α₁х₁+… α_nх_n, где  α₁,… α_n какие либо числа, которые называются коэффициентами разложения.

Определение 2. Элементы e₁… e_n Î L называются линейно зависимыми, если существует равная нулю линейная комбинация α₁e_1+…+α_ne_n = 0, в которой не все коэффициенты α_n равны нулю.

Введем понятия, связанные с базисом векторного пространства (ВП)

        1)   Последовательность элементов e₁,… e_n Î Z является базисом в Z тогда  и только тогда, когда  e₁,… e_n линейно независимы и для "xÎL $a₁,…, a_nÎR такие, что x= a₁e₁+…+a_ne_n  (e₁,… ,e_n порождает все элементы из L).

       2) Базисы в векторном (линейном) пространстве имеют одинаковое число элементов.

       3) Если в векторном пространстве L существует базис, то число n элементов этого базиса называется размерностью ВП, а ВП называется n-мерным ВП. Обозначается размерность dim Z=n (dimention).

Определение 3. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всевозможных упорядоченных пар элементов А´В: {(x, y)| x ЄΑ, y ЄΒ}.

Определение 4. Декартовым произведением векторных пространств L₁,…. L₂ называется декартово произведение Z₁ ´ Z₂, на котором определены операции сложения элементов и умножения на число по правилу:

         {x₁,y₁} + {x₂,y₂}: = {x₁+х₂, y₁₊ y₂}

          λ {x,y}: =  {λx , λy}.

Замечание 1.  L₁ ´ L₂  удовлетворяет 8 аксиомам.

Замечание 2. Аналогично определяются декартовы произведения L₁ ´…´ L_n и Lⁿ := L´…´L.

Пример:  Rⁿ:= {x_1,…х_n):  x₁, х_2, …,х₁ Є R}.

Примеры векторных (линейных) пространств.

Пример 1. Пространство свободных трехмерных векторов В_3..

Пусть В₃ – множество всех векторов в пространстве рассматриваемых в аналитической геометрии. Сложение определяется известным правилом параллелограмма, а умножение на число определяется также обычным образом. При этом аксиомы 1) – 8) для этих операций выполнены, т.е. В₃ – линейное пространство. Линейным пространством являются также множества В₂ и В₁ – множества всех векторов на плоскости и на прямой. Нулевым элементом в этих пространствах является вектор с нулевым модулем (нулевыми координатами).

Пример 2. Пространство всех вещественных чисел.

Пусть Z⁺ множество всех вещественных положительных чисел. Под «сложением» будем понимать обычное умножение двух чисел; под « умножением» любого вещественного числа α на Z Є Z⁺ будем понимать обычное возведение числа Z в степень α. Справедливость аксиом 1) и 2) вытекает из коммутативного и ассоциативного свойств обычного умножения. «нулем» может служить число 1. «Противоположным» элементом Z является .

Множество Z⁺ с указанными операциями является линейным пространством.

Пример 3. Арифметическое пространство Rⁿ векторов.

Rⁿ :{  {x_1,х_2…х_n}│  x_1,х_2…х_n Є R} – множество упорядоченных п-ок чисел; п-ки называются векторами, а числа  координатами.

Определение 1.  Два вектора называются равными, если все соответствующие координаты совпадают.

Определение 2. Суммой векторов х ={x_1,…, х_n}; y ={ y₁,…y_n} называется вектор х + y : = {х₁ + y₁ ;…х_n + y_n}.

Определение 3. Произведением вектора х на число λЄR называется вектор λх: ={ λх₁,… λх_n } .

Замечание 1. Арифметическое пространство Rⁿ является векторным пространством (удовлетворяет аксиомам 1) – 8)).

Замечание 2. Базисом в Rⁿ является dim Rⁿ = n.

Пример 4. Пространство матриц М_m,n  размера m х n является векторным пространством.

 Базисом в  М_m,n   является dim М_m,n   = r х r (ранг матрицы М_m,n ).

Пример 5. Пространство многочленов P_n  степени ≤n.

Определение 4. Функция вида P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n, где а₀ ,а₁,…, а_nЄR  и  а₀ ≠ 0 называется многочленом степени n; числа а_n называются коэффициентами.

Определение 5. Два многочлена называются равными, если у них коэффициенты при одинаковых степенях совпадают.

Определение 6. Суммой p(х) = а₀хⁿ +…+ а_n, q(х) = в₀хⁿ + …+в_n называется многочлен

p(х) + q(х) = (а₀ + в₀) хⁿ +…+(а_n + в_n).

Определение 7. Произведением многочлена на число λ называется многочлен λ P(х) = λ а₀хⁿ +…+λ а_n

Замечание 3. Множество P_n многочленов степени ≤n является линейным (векторным) пространством

Замечание 4. Функции 1, х, х²,….хⁿ образуют базис в P_n dim P_n = n + 1.               

Линейные отображения (Евклидовы пространства)

Определение 1. Отображением множества элементов А в множество элементов В называется правило, сопоставляющее каждому элементу из А один элемент из В.

Обозначение: f: A®B; "xÎA  y:=f(x)ÎB.

Пример1. f:=M_nn®R. f((a_ij)):=- определитель матрицы.

Пример 2. =af’+bg’- линейное отображение.

Определитель матрицы определяет нелинейное отображение.

Пример 3. х = y =, f(x+y)=f()= 16-24=8, f(x)+f(y)==

=(4-6)+(4-6)= - 4.

Определение 2. Отображение f = f(х₁,…х_n) : Еⁿ  → F называется полилинейным (n – линейным ), если оно является линейным отображением из Е в F по каждой переменной х_к при фиксированных остальных : "a,bÎR, "x’_k,…, x”_kÎE, f(x₁,…,x_k-1,  ax’_k+bx”_k,  x_k+1,…,x_n)=af(x_1,…,x_k-1, x’_k, x_k+1,…,x_n)+bf(x₁,…, x_k-1, x”_k, x_k+1,…,x_n).

Определение 3. n – линейное отображение f:  Eⁿ →  R называется n- линейной формой.

Определение 4. 2-линейное отображение (форма) называется билинейным отображением (билинейной формой).

Определение 5. Билинейная форма r(x,y):E²®R называется скалярным произведением на векторном пространстве Е, если оно обладает свойствами:

1) "x, yÎE  выполняется (x,y)=(y,x),

2) если для "y (x,y)=0, то x=0,

3) для "x¹0 выполняется (x,x)>0.

Пример 4. r=(): ®R, ():=IxI IyI cos.

Пример 5. r=(x,y): (Rⁿ)²®R, x={x₁,…,x_n}, y={y₁,…,y_n}, тогда (x,y):=x₁y₁+…+x_ny_n.

1)      очевидно,

2)      "y (x,y)=x₁y₁+…+x_ny_n=0. В частности, для y=e_k={0,…,0,1,0,…0}, k=1,2…,n, следовательно, (x,e_k)=x_k=0, k=0,1,2,…,n, следовательно, x={0,0,…,0},

3)      (x,x)=x₁²+…+x_n²>0 Û$ k: x_k¹0.

Определение 6. Отображение f =: E®R  называется нормой в пространстве Е , если оно обладает свойствами:

1)      " xÎE 0 и Û x=0,

2)      "lÎR  ,

3)      "x,yÎE .

Замечание .Скалярное произведение порождает норму по правилу .

1)      очевидно,

2)      ,

3)      Покажем сначала . Пусть x¹0. "lÎR, 0 £(lx + y, lx+y)=l²(x,x)+2l(x,y)+(y,y)= -квадратный трехчлен неотрицательный Û

          D=(x,y)² -0 Û (x, y)²£,                   

         =.

Определение 7.  n-мерным Евклидовым (точечным) пространством называется тройка (Е, Ф, (х,y)) объектов:

n-мерное векторное пространство Е;

скалярное произведение (х,y) на нем;

множество точек Ф, которые обладают свойствами:

1)      каждой упорядоченной паре точек А,В Є Ф поставлен в соответствие один элемент х из Е, который обозначается х =,

2)      "AÎФ, "xÎФ существует единственная точка ВÎФ со свойствами: = x,

3)      "A, B, CÎФ, +=.

Обозначаем :=(E,Ф, (·, ·)) .

Замечание. Пара (Е, (·, ·.))  называется n-мерным Евклидовым пространством; пара (Е,Ф) со свойствами 1)-3) называется n-мерным  аффинным пространством.

Определение 8.  n-мерным арифметическим Евклидовым пространством называется тройка

  :=(Rⁿ, Ф, (·, ·)), где Ф:={A=(x₁,…,x_n): x₁,…,x_n ÎR},"x={x₁,…,x_n}, y={y₁,…,y_n}ÎRⁿ, (x,y):=x₁y₁+…+x_ny_n.

Если А=(x₁,…x_n), B=(y_1,…,y_n), то ={y₁-x₁,…,y_n-x_n}ÎRⁿ.

Определение 8. В n-мерном Евклидовом пространстве совокупность какой-либо точки О (начало координат) и какого-либо базиса ℓ₁… ℓ_n Є  Е называется декартовой системой координат (ДСК).

Определение 9. Символом Кронекера называется отображение d_{i, j} : N² ®R, определяемое по правилу:

d_{i, j}=     ,   i, jÎN.

Определение 10. Базис ℓ₁… ℓ_n  в  называется ортонормированным , если " i, j £ n, (e_{i  ,}  e_j)= d_{i, j}, то есть элементы его попарно “перпендикулярны ” для i¹j Þ(e_i , e_j)=0, и их нормаль равна 1:=1

Определение 11. ДСК, в которой выделенный базис является ортонормированным, называется прямоугольной (ПДСК).

Пример 6. В В₃ со скалярным произведением  тройка попарно перпендикулярных векторов   единичной длины : , есть пример ортонормированного базиса.

Пример 7. В   векторы e₁={1,0,…,0},…,e_n={0,0,…,0,1} образуют ортонормированный базис.

Определение 12. Коэффициенты разложения элемента аÎ Е по базису  e_1, e₂,…, e_n  : а =a₁e₁+ a₂e₂+…+a_ne_n     называются координатами (компонентами) элемента а в базисе e_1, e₂,…, e_n.

 

В начало

Оглавление

На главную