Лекция 7. Понятие линейного преобразования.

Собственные векторы.

Пусть переменные х₁ и х₂ связаны с переменными х₁^/ и х₂^/ следующими формулами

, (1)

тогда матрица А = называется матрицей линейного преобразования вектора

в вектор , или точки М(x₁, x₂) в базисе , в точку М’(x’₁, x’₂) в базисе .

Матричная запись линейного преобразования

В общем случае отличаются по величине и по направлению. Важное значение имеют те векторы , которые при линейном преобразовании не меняют прямой, на которой они находились до преобразования.

Определение. Ненулевой вектор ē называется собственным вектором линейного преобразования с матрицей А, если он переводится этой матрицей в вектор, коллинеарный вектору ē, то есть,

Аē = λē, (2)

где λ- некоторое число, которое называется собственным значением матрицы А.

Пусть вектор ē {m;n}, тогда из матричного уравнения (2) следует

(3)

Вопрос о существовании собственных векторов сводится к вопросу о существовании ненулевого решения линейной относительно m и n, однородной системы (3).

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю:

=0 (4)

Уравнение (4) называется характеристическим уравнением.

В матричном виде уравнение (4):

| A – λ E | = 0. (5)

Уравнение (4) может не иметь действительных корней, и тогда собственных векторов с вещественными координатами нет.

Если корни характеристического уравнения вещественные равные, то можно указать собственный вектор.

Если характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня, то можно найти два собственных вектора.

Симметрическое линейное преобразование.

Линейное преобразование называется симметрическим, если его матрица А симметрична:

А = А^т

Для матрицы размера (2 × 2) это условие имеет вид а₁₂= а₂₁.

Теорема. Собственные значения симметрического линейного преобразования вещественны, а собственные векторы ортогональны.

Теорема о приведении матрицы к диагональному виду.

Пусть матрица линейного преобразования

А = .

Пусть l₁,l₂-собственные значения матрицы А, ē₁ {m₁, n₁} и ē₂{m₂, n₂} соответствующие собственные векторы, причем не коллинеарные.

Рассмотрим матрицу из координат собственных векторов:

В=, det(B)¹0, тогда матрица B^-1AB=.

Преобразование координат при переходе к новому базису

(изменение направления осей).

Пусть система координат х₁0х₂ определяется ортонормированным базисом . Единичные векторы ē₁ ={m₁, n₁}, ē₂{m₂, n₂} примем за направляющие векторы новых осей координат системы , ē₁ ┴ ē_2.

Пусть новая система координат, определяемая базисом ē_1,ē₂повернута на угол α относительно старой системы координат, определяемой базисом .

Матрица В =, составленная из координат векторов ē₁ и ē₂, является матрицей перехода к новому базису.

Координаты нового базиса ē₁, ē₂относительно старого базиса будут:

и, следовательно, матрица перехода к новому базису имеет вид:

B= и B^-1=

В данном случае транспонированная матрица совпадает с обратной.

X=BX‘, =

(5) и (5’)

Полученные формулы (5) и (5^/) являются формулами преобразования координат при повороте осей координат.

Ортогональная матрица.

Пусть элементы матрицы В = удовлетворяют условиям m₁²+n₁²=1; m₂²+n₂²=1; m₁n₁+m₂n₂=0, тогда

BB^t===E и B^tB=E,

то есть транспонированная матрица совпадает с обратной. Тогда матрица В называется ортогональной.

Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду.

Квадратичной формой переменных х₁, х₂ называется выражение

s(x_1,x₂)=a₁₁x₁²+2a₁₂x₁x₂+a₂₂x₂² (6).

Канонический вид квадратичной формы

s^*(x_1,x₂)=l₁ x₁²+l₂x₂².(7)

Рассмотрим матрицы квадратичных форм (6) и (7)

А = , В= и вектор .

Матричная запись квадратичной формы (6)

s(x_1,x₂)=A ,

и соответственно для формы (7)

s^*(x_1,x₂)= В.

Теорема. Квадратичная форма с матрицей А является канонической в базисе ē₁, ē₂ , где ē₁, ē₂ - единичные, взаимно перпендикулярные собственные векторы матрицы А.

Действительно, s(x_1,x₂)=A , в базисе .

Перейдем от базиса к базису (ē₁, ē₂), тогда формулы перехода

=B’, где В=- матрица из координат собственных векторов.

В новом базисе ē₁, ē₂ матрица B^-1AB= , где λ₁ ,λ₂ соответствующие собственные значения, отсюда следует s^*(x_1,x₂)= =l₁x’₁²+lx’₂².

Приведение общего уравнения линии 2-го порядка к

каноническому виду.

Общее уравнение линии 2-го порядка

a₁₁x₁²+2a₁₂x₁x₂+a₂₂x₂² +2a₁₃x₁+2a₂₃x₂+a₃₃=0.

По группе старших членов составляем определитель

d=, a₁₂₌a_21,d=a₁₁a₂₂-a₁₂².

1) δ > 0 – кривая эллиптического типа

2) δ < 0 – кривая гиперболического типа

3) δ = 0 – кривая параболического типа

Схема приведения кривой к каноническому виду:

1) По группе старших членов составляем матрицу А= .

2) Характеристическое уравнение |A – λ E| = 0.

Определяем собственные значения и собственные векторы матрицы А.

А ē = λ ē (ē₁(m₁,n₁) и ē₂(m₂,n₂), I ē₁I= I ē₂I=1).

3) Cоставляем матрицу перехода к новому базису В = .

4) Выписываем преобразование координат при повороте осей координат =B’.

5) В новом базисе ē₁, ē₂ группе старших членов соответствует λ₁X’₁ ²+ λ₂X’ ₂².

6) Выделяем полные квадраты членов с каждой из координат, так определяем центр, в случае центральных кривых и вершину в случае параболы.

7) Строим график кривой.

Задачи на темы ”Собственные векторы ”, “Приведение кривой к каноническому виду”.

Пример 1. Найти собственные числа и собственные вектора матрицы

А=.

Решение. 1. Решим характеристическое уравнение IА-lЕI=0. В нашем случае оно имеет вид:

=0, то есть l²-13l+22=0.

Собственными числами являются корни характеристического уравнения l₁=2, l₂=11.

2. Собственный вектор ₁, соответствующий числу l₁=2, является базисом в пространстве решений однородной системы

Эта система состоит из двух одинаковых уравнений, где неизвестные x₁, x₂ связаны зависимостью

5x₁+4x₂=0, или x₁=x₂.

Положив параметрическую неизвестную x₂ равную произвольной константе, например 1, получим x₁=и собственный вектор ₁=.

3. Для собственного вектора ₂, соответствующую l₂=11, составим систему

Решая ее, придем к соотношению x₁-x₂=0, или x₁=x₂.

Положив x₂=1, получим ₂=.

Пример 2. Привести уравнение кривой 5х₁² + 8х₁х₂ + 5х₂² – 18х₁ – 18х₂ + 9 = 0 к каноническому виду. Решение. Составляем определитель δ ==25-16=9>0. Следовательно, кривая эллиптического типа.