Лекция 6. Системы линейных алгебраических уравнений.

Однородные системы линейных уравнений.

Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных

называется матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец , называемый столбцом свободных членов.

Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы

В=.

Если свободные члены всех уравнений равны нулю, то система называется однородной.

Определение. Совокупность n чисел х₁⁰,х₂⁰,…х_n⁰ называется решением системы (1), если каждое уравнение системы обращается в числовое равенство после подстановки в него чисел (х₁⁰,х₂⁰,…х_n⁰) вместо соответствующих неизвестных (х₁,х₂,…х_n).

Системы, не имеющие решений, называются несовместными, а имеющие решения – совместными.

Методы решения системы линейных алгебраических уравнений.

1. Правило Крамера.

Система из n неизвестных уравнений с n неизвестными

(1)

в случае , когда детерминант (определитель) матрицы системы отличается от нуля, имеет решение, и притом только одно. Это решение находится по формулам:

x_i=(для всех I=1,2,…,n), где через D обозначен определитель матрицы системы, а через Dx_i- определитель, получаемый из определителя системы заменой I- того столбца столбцом свободных членов, то есть

Dx_i=, i=1,2,…,n.

2. Решение системы методом обратной матрицы.

Рассматривается система вида (1) из n линейных уравнений с n неизвестными. Пусть определитель системы не равен нулю. Представим систему (1 ) в матричном виде

AX=B (2), где

матрица системы , матрица-столбец неизвестных, _,матрица-столбец свободных членов

Так как det(A)¹0, то для матрицы А существует обратная матрица А^-1. Умножим обе части уравнения (2 ) слева на А^-1, получим решение системы (1) в матричном виде:

X=A^-1B. (3)

3. Метод Гаусса.

С помощью элементарных преобразований строк приведем матрицу размера n´n к треугольному виду:

Затем начинается, так называемый “обратный ход”: из последнего уравнения системы определяется x_n , подставляем это значение в предпоследнее уравнение, определяем x_n-1и так далее, пока из первого уравнения не определим x₁.

Пример. Дана система:

Найти решение: 1. по формулам Крамера,

2. методом обратной матрицы ,

3. методом Гаусса.

Решение:1. по формулам Крамера:

D=det(A)==1-2 -1=-18 ¹0.

Dx₁== -3-2 -1=-18 , x₁==1.

Dx₂==1+3 -1=18 , x₂== -1.

Dx₃==1-2 -3= -36 , x₂== 2.

Ответ:{1; -1;2}.

2.методом обратной матрицы.

D=det(A)== -18 .

Так как det(A)¹0, то по теореме об обратной матрице, определена.

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя det(A):

A₁₁== -5	A₂₁= -=-7	A₃₁==1
A₁₂=-= -3	A₂₂==3	A₃₂=-= -3
A₁₃==7	A₂₃=-= -1	A₃₃== -5

Строим союзную матрицу :

Следовательно, =

Итак, решением системы будет

X=A^-1B= ==, отсюда x₁=1, x₂=-1, x₃=2.

1.методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу системы:

C=~^C₂^-2C₁, ^C₃^-C₁~^C₂^+5C₃~^C₃^:18

Получаем систему треугольного вида:

x₁ + 2x₂ – x₃ = -3
-5x₂ + 3x₃ = 11
x₃ = 2

Отсюда x₃=2

-5x₂+6=11 Þ x₂= -1,

x₁+2x₂-x₃= -3 Þx₁-2-2=-3, x₁=1.

Ответ:{1; -1;2}

Замечание: C помощью элементарных преобразований, матрицу А можно привести к диагональному виду, а затем к единичной матрице.

Продолжим преобразование матрицы С:

~^C₁^+C₃, ^C₂^-3C₃~^C₂^:(-5)~^C₁^-2C₂.

Отсюда x₁=1, x₂=-1, x₃=2.

Множество решений однородной системы.

Рассмотрим однородную систему m уравнений с n неизвестными:

(1).

Однородная система линейных уравнений всегда совместна, т.к. одним из решений является тривиальное уравнение (0,0,….0)

Предложение. Если однородная система (1) имеет два решения X= (х_1,х₂,…х_n) и Y=(y_1,y_2,…. y_n ), то любая линейная комбинация решений Z также решение: Z=a.

Рассмотрим матрицу системы (1)

Применяя элементарные преобразования строк приведем матрицу А к упрощенному виду:

Отсюда r(A)= r и D= базисный минор.

Данная нам система линейных уравнений перейдет в эквивалентную ей систему из r линейно независимых уравнений:

(2)

В левых частях равенств мы оставили неизвестные, соответствующие столбцам базисного минора , так называемые базисные неизвестные. Остальные неизвестные – называемые параметрическими – перенесены в правые части равенств.

Всего параметрических неизвестных n – r.

Тогда решая систему (2), например, по формулам Крамера, получили:

(3).

Параметрическим неизвестным задаем значения по схеме:

1)x_r+1=1, x_r+2=0, …, x_n=0,

2)x_r+1=0, x_r+2=1, …, x_n=0, (4)

… … …

n-r) x_r+1=0, x_r+2=0, … x_n=1.

Для каждой совокупности значений параметрических неизвестных найдем из системы (3) соответствующие базисные неизвестные:

1)x₁₁, x_{12, …,}x_1r,

2)x₁₂, x₂₂, …, x_2r,

… … …

n-r) x_{n-r 1}, x_{n-r 2}, …, x_{n-r r.}

Получаем n – r решений системы (1):

, , …, (5).

Эти решения линейно независимы, т.к. матрица из их столбцов имеет минор порядка n-r, равный единице.

Совокупность решений (5) называется нормальной фундаментальной системой решений.

Тогда любое решение линейной однородной системы представляет собой линейную комбинацию нормальной фундаментальной системы решений:

, где с₁, c₂, …,c_n-r–произвольные постоянные.

Общая теория линейных систем.

Рассмотрим линейную неоднородную систему m уравнений с n неизвестными:

(6)

Матрица системы

Расширенная матрица

Теорема о базисном миноре позволяет дать условие совместности системы линейных уравнений (6), носящее название

Теорема Кронекера-Капелли.

Система (1) имеет хотя бы одно решение в том и только в том случае, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы А^*, т.е. r(А) = r(А^*).

Общая схема исследования и решения системы (6).

1)Составляем расширенную матрицу системы А^*.

2)С помощью элементарных преобразований приводим матрицу А^* к упрощенному треугольному виду.

3)Сравниваем ранги матрицы А и А^*.

Если: 1)r(А) ≠ r(А^*), то система несовместна,

2)r(А) = r(А^*), то система совместна.

Пусть система (1) совместна и r(А) = r(А^*) = r.

Мы можем выбрать базисный минор расширенной матрицы так, чтобы он был расположен в матрице системы. Данная нам система линейных уравнений перейдет в эквивалентную ей систему из r линейно независимых уравнений.

Для удобства записи будем предполагать, что базисный минор расположен в первых r столбцах, тогда преобразованную систему можно записать в виде:

(7).

x₁, x₂,…,x_r-базисные неизвестные, x_r+1, x_r+2,…, x_n-параметрические неизвестные, их всего n-r.

Параметрические неизвестные обычно задаются по схеме (4), а базисные неизвестные определяются из системы (7). Этим способом мы получим всю совокупность решений.

Общее решение системы линейных уравнений.

Теперь мы можем собрать воедино наши результаты.

Теорема. Если – фундаментальная система решений системы (7), а - некоторое частное решение системы (6), то общее решение системы линейных алгебраических неоднородных уравнений (6):

(8), при любых с₁, с₂,…с_n-r.

Наоборот, для каждого решения этой системы найдутся такие числа с₁, …с_n-r, при которых решение имеет вид (8) или в развернутом виде:

(9).

Выражение, стоящее в правой части равенства (9), называется общим решением системы линейных неоднородных уравнений (6).

Задачи на тему “Системы линейных алгебраических уравнений”.

Определить размерность пространства решений, найти базис (фундаментальную систему решений) и общее решение следующих систем:

1), 2) ,

3) , 4) .

Для каждого из рассматриваемых случаев составим матрицу системы, с помощью элементарных операций преобразуем ее к приведенной форме, то есть, последовательно сформируем на главной (или смещенной) диагонали единицы, а выше и ниже диагонали нули. После чего, определим ранг и найдем решение системы.

1) А=~^C₂^-C_1,^C₃^-C₁~^C₂^{;(-2), C}₃^(-2) ~.

Вторым элементом главной диагонали является ноль, а нам нужен не нулевой элемент, чтобы получить на диагонали единицу, поэтому здесь необходимо рассмотреть смещенную диагональ. Элементарными преобразованиями С₁-С₂ и С₂-С₃ преобразуем эту матрицу к приведенной форме:

A~.

Отсюда, ранг исследуемой матрицы А: r(A)=3.

Пространство решений имеет размерность L=n-r=4-3=1,где n=4-число неизвестных системы, и содержит один базисный вектор . Чтобы найти базисный вектор, восстановим по приведенной матрице систему:

и выразим базисные неизвестные x₁, x₃, x₄, соответствующие элементам смещенной диагонали, через параметрическое неизвестное x₂;

В полученной системе положим x₂=1, будем иметь:

=Базисный вектор, Пространство решений однородной системы.

2) A=~ ^C₃^-C_1,^C₄^-2C₁~

~^C₃^+C_2,^C₄^+C₂~.

Таким образом, ранг матрицы А: r(A)=2, размерность пространства решений L=6-2=4.

Восстановим по последней матрице систему:

и выразим базисные неизвестные x₁, x₂ через параметрические x₃, x₄, x₅, x₆:

Найдем теперь фундаментальную систему решений, состоящую из четырех(L=4) векторов, полагая,

для ₁: x₃=1, x₄=0, x₅=0, x₆=0;

для ₂: x₃=0, x₄=1, x₅=0, x₆=0;

для ₃: x₃=0, x₄=0, x₅=1, x₆=0;

для ₄: x₃=0, x₄=0, x₅=0, x₆=1,

имеем:

₁=, ₂=₃=₄=

Фундаментальная система решений.

и =C₁+C₂+C₃+C₄; C₁ ,C₂, C₃, C₄ R.
Пространство решений однородной системы, являющееся линейной комбинацией базисных векторов

3) A=~^C₂^+C₁~,

r(A)=1, L=3-1=2.

Восстановим систему и выразим единственную базисную неизвестную x₁ через параметрические x₂, x₃;

X₁=-2x₂+x₃.

Теперь полагая

для ₁: x₂=1, x₃=0

для ₂: x₂=0, x₃=1, получим:

₁=, ₂= и C₁,C₂R.

4) A=~ ^C₁^-C_2,^C₃^-C₂~ ^C₂^-2C_1,^C₃^-C₁~~^C₂^-5C₃ ~~ ^C₁^+3C_2,^C₃^-2C₂~^C₃^:(-3) ~~ ^C₁^-4C_3,^C₂^-2C₃~.

Ранг матрицы А однородной системы r(A)=3. Пространство решений имеет размерность L=3-3=0 и поэтому не содержит базисных векторов и состоит только из нулевого вектора:

Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Исследовать систему и в случае совместности найти ее решения.

1) , 2) ,

3) 4) .

Исследование системы будем проводить в следующем порядке:

1)Составим расширенную матрицу системы (АIb) и с помощью элементарных преобразований получим ее приведенную форму.

2)Найдем ранги r(A), r(AIb) и по теореме Кронекера-Капелли сделаем выводы.

Если система неопределена, то переходим к пункту 3 и продолжим изучение.

3)По приведенной матрице А восстановим однородную систему уравнений и найдем ее множество решений X₀₀.

4)По приведенной расширенной матрице (АIb) восстановим неоднородную систему уравнений и, положив параметрические неизвестные равными, например, нулю, найдем частное решение X_ч.н..

5)Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего однородного и частного неоднородного решений, то есть X_о.н.=X_о.о+X_ч.н..

₁(AIb)=~^C₁^-C₄~^C₂^-4C_1,^C₃^-2C_1,^C₄^-C_1,

~~^C₂^:5, ^C₃^:3~^C₃^-C_2,^C₄^-4C₂~~^C₂^+2C₄~^C₁^+3C_2,^C₃^+C₂~~^C₃^(-7)~^C₁^+16C_3,^C₂^+5C₃ ~_.

2.Определитель =10 является для матриц А и (AIb) базисным минором, поэтому r(A)=r(AIb)=3 и по теореме Кронекера-Капелли исходная система уравнений совместна. Так как число неизвестных n=3 совпадает с рангом r(AIb), то система имеет единственное решение, то есть определена. Это решение найдем восстановив систему по приведенной матрице (AIb):

2)1.

(AIb)=~^C₂^+C₁ , ^C₃^-2C₁~^C₂^+C₃ , ^C₃^(-1)

~ ~^C₁^-2C₂ , ^C₃^-3C₂ ~^C₁^+C₃.

2.Матрица А имеет базисный минор , следовательно, r(A)=3. Ранг расширенной матрицы также равен 3, так как рассмотренный выше минор является базисным минором и для матрицы (АIb).

Итак, по теореме Кронекера-Капелли исходная система совместна. Поскольку число неизвестных системы п=4 больше, чем r(AIb), то система имеет бесконечно много решений, то есть является неопределенной.

3.Однородная система имеет вид:

Так как r(A)=3, n=4, то размерность пространства решений однородной системы L=r(A)-n=4-3=1 и существует только один базисный вектор ₁. Координаты этого вектора получаются из равенств:

если положить в них параметрическую переменную x₄ равную 1. Имеем,

и ₁=, X₀₀=C, CR.

4.Неоднородная система имеет вид:

. Полагая здесь X₄=0, получим: и X_ч.н.= .

5.Общее решение исходной системы имеет вид:

X_{о. н.}=C+, CR.

3) 1. (AIb)=~^C₂^-2C₁ , ^C₃^-C₁~ ^C₂ ^(-1), ^C₃^+C₂~~ ^C₁^-2C_1.

2. Определитель =10 является для матриц А и (АIb) базисным минором, поэтому r(A)=r(AIb)=2. По теореме Кронекера-Капелли система уравнений совместна, и так как число неизвестных п=4 больше ранга r(AIb), то система неопределена.

3.Однородная система имеет вид

или .

Так как r(A)=2, п=4, то пространство решений однородной системы имеет размерность L=4-2=2 и содержит два базисных вектора ₁, ₂. Полагая в последней системе уравнений параметрические неизвестные x₃=1, x₄=0, получим

, ₁=, и x₃=0, x₄=1, получим , ₂=.