Лекция 5. Линейная алгебра.

Матрицы.

Определение. Матрицей размера m x n называется совокупность элементов (чисел), расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:

или короче: , 1m, 1n, где i – номер строки, j-номер столбца.

Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк ее порядком. Остальные матрицы носят название прямоугольных.

Обозначаются матрицы заглавными буквами русского и латинского алфавитов.

Частные виды матриц:

Матрица с любым числом строк и столбцов, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей ,
Матрица - строка В=(b₁, b₂, … b_n),
Матрица - столбец

4.Детерминант квадратной матрицы – это ее определитель: .

Элементы образуют главную диагональ матрицы.
Диагональная матрица – это квадратная матрица, у которой все элементы равны нулю, за исключением, быть может, элементов главной диагонали.

или .

Если все λ_i = 1, i = 1,2…n , то диагональная матрица называется единичной и обозначается:

Определение.

Матрицы А и В называются матрицами одинаковых размеров, если соответственно равны числа строк и столбцов, т.е. их порядки равны.
Две матрицы называются равными. Если они имеют одинаковые размеры и равны. их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Линейные операции над матрицами.

1. Сложение матриц.

Суммой двух прямоугольных матриц А и В, имеющих одинаковые размеры, называется матрица С, элементами которой являются суммы соответствующих элементов матриц А и В .

С = А + В , где А =, B=, C=, c_ik=a_ik+b_ik , 1£ i£ m, 1£ k£ n .

Сложение матриц подчиняется следующим законам:

1.А+В = В+А (коммутативность),

2.А+(В+С) = (А+В)+С (ассоциативность),

3.Если 0-ноль матрица, то А+О = А.

Разность двух матриц определяется как алгебраическая сумма матриц.

Матрицу (-1)А называют противоположной матрице А и обозначают –А. Она обладает тем свойством, что А+(-А)=0.

2. Умножение матрицы на число.

Матрица С =, элементы которой 1£ i£ m, 1£ k£ n, (с_ik) равны произведению элементов а_ik матрицы А на число , называется произведением А на и обозначается αА.

Мы имеем c_ik = а_ik.

Умножение матрицы на число подчиняется следующим законам:

α(А+В) = αА+αВ; (α+β)А=αА+βА; (αβ)А=α(βА).

3. Транспонирование матриц.

Если в данной матрице А, поменять местами столбцы и строки, то получают транспонированную матрицу А^t.

Симметричная матрица – это квадратная матрица, совпадающая со своей транспонированной матрицей.

А =, A^t= , a_ik=a_ki, 1£ i£ n, 1£ k£ n, то есть A^t=A.

4. Умножение матриц.

Произведение матриц А и В обозначается С=А×В. В общем случае А×В ≠ В×А.

Пусть матрица А=, 1£ i£ m, 1£ k£ n размера m´n, B=1£ k£ n, 1£ j£ p размера n´p.

Произведением А´В назовем матрицу С=, 1£ i£ m, 1£ j£ p (размера m´p), элементы которой определяются по правилу:

Свойства произведения матриц.

Если для некоторых матриц АВ=АВ, то матрицы А и В называются коммутативными или перестановочными. Например, ЕА=АЕ=А, где Е единичная матрица, А- квадратная матрица.

Операция умножения матриц подчиняется сочетательному и распределительному законам умножения:

1. (А×В)×С=А×(В×С);

2. А×(В+С)=А×В+А×С;

3. (А+В)×С=А×С+В×С.

5. Обратная матрица.

Пусть матрица А – квадратная, порядка n. Левой обратной матрицей по отношению к матрице А называется матрица того же порядка n, удовлетворяющего равенству

А = Е.

Аналогично определяется правая обратная матрица , удовлетворяющая равенству: А=Е.

Если левая и правая обратные матрицы совпадают , то это есть обратная матрица:

==А^-1

Условием существования обратной матрицы для данной квадратной матрицы является условие d(А)≠0, т.е. матрица не особая. Если матрица А имеет обратную, то эта матрица единственная.

Как найти обратную матрицу:

1.Пусть дана матрица и d(А)≠0.

2.Союзная матрица - это транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов данной матрицы. Элементу а_iк соответствует алгебраическое дополнение А_iк, тогда

и обратная матрица .

Известно, что сумма произведений элементов некоторого ряда на их алгебраические дополнения равна определителю, а сумма произведений элементов некоторого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого ряда равна нулю, поэтому

А^-1 А===E.

Свойства столбцов матрицы А.

Пусть матрица А = , 1£ i£ m, 1£ k£ n.

Определение. Система из s столбцов ,…, матрицы А называется линейно зависимой если существует набор чисел одновременно не равных нулю, для которых линейная комбинация равна нулю

В противном случае система столбцов ,…, линейно независимая, т.е. линейная комбинация равна нулю только при всех коэффициентаходновременно равных нулю.

Предложение 1. Система столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных.

Предложение 2 . Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то система линейно зависима.

Предложение 3. Если в системе из k столбцов к-1 столбцов линейно зависимы, то и k столбцов линейно зависимы.

Предложение 4 . Любые столбцы, входящие в линейно независимую систему, сами по себе образуют линейно независимую систему.

Предложение 5 . Если столбец есть линейная комбинация столбцов ,…, , то он является также линейной комбинацией любой системы столбцов, содержащей ,…, .

Предложение 6. Если А квадратная матрица и detА= 0, то один из столбцов есть линейная комбинация остальных столбцов.

Базисный минор.

Определение. В матрице А размером m´ n минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка равны нулю, или миноров порядка вообще нет, т.е. r совпадает с n или m.

Определение. Ранг – это порядок базисного минора, или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Обозначение ранга r( А).

Дадим еще одно определение ранга:

Определение. Матрица А имеет ранг к_о, если среди миноров порядка к_о есть хотя бы один отличный от нуля, а все миноры более высокого порядка (к_о+1 и т.д.) равны нулю.

Основные теоремы.

Теорема 1. В произвольной матрице А каждый столбец, не входящий в ее базисный минор, является линейной комбинацией столбцов, в которых расположен базисный минор.

Теорема 2. (о ранге матрицы). Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы.

Элементарные преобразования матриц.

К элементарным преобразованиям матриц относятся следующие преобразования:

1. Умножение строки на число, отличное от нуля.

2. Прибавление к одной строке другой строки.

3. Перестановка строк.

4. Те же преобразования столбцов.

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы (базисный минор сохраняется в виде, отличном от нуля).

Задачи на тему “Матрицы”.

1)Найти матрицу С=3А^t-2В, где

А=, B=.

1. Найдем транспонированную матрицу А^t. Для этого в матрице А поменяем местами строки и столбцы:

А^t=.

2. Все элементы матрицы А^t умножим на 3, а элементы матрицы В на 2, получим:

3A^t=, 2B=.

3. Матрица С есть результат вычитания от элементов матрицы 3А^t соответствующих элементов матрицы 2В:

C=.

2)Найти произведение матриц АВ:

1.A=, B=;

2.A=, B=;

3.A=, B=;

4.A=, B=.

Заметим, что во всех случаях рассматриваемой задачи, для матриц АВ выполнено условие согласования, то есть, количество столбцов матрицы А совпадает с количеством строк матрицы В, следовательно, АВ определена.

1.Так как А(23), В(32), то АВ(22) и

АВ=== =.

2.Так как А(23), В(31), то АВ(21) и

АВ===.

3.Так как А(13), В(32), то АВ(12) и

АВ===(15 11).

4.Так как А(23), В(33), то АВ(23) и

АВ=.==.

3)Найти А³, если А=.

Возведение в третью степень матрицы А означает умножение ее трижды на саму себя, то есть А³=ААА.

Вначале найдем А²:

AA==.

Теперь А³=А²А==.

4)Найти АВС, если

А=, B=, C=.

В силу свойства ассоциативности матриц: АВС=(АВ)С=А(ВС).

Выбор последовательности умножения матриц зависит от простоты вычислений. Так, если вначале умножать матрицу А(43) на В(32), то образуется матрица АВ размера (42), а если перемножать В (32) и С(21), то получится матрица ВС размера (31) и содержащая меньше искомых элементов, чем АВ.

Находим ВС:

BC==.

Теперь АВС=А(ВС)=

==.

5)Дана матрица А:

A=.

Найти обратную матрицу .

Вычислим определитель матрицы А, разложив его по второй строке:

det(A)==-3-2=-4.

Так как det(A)¹0, то по теореме об обратной матрице, определена.

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя det(A):

A₁₁==4	A₂₁=-=-8	A₃₁==4
A₁₂=-=-7	A₂₂==9	A₃₂=-=-5
A₁₃==-6	A₂₃=-=10	A₃₃==-6

Строим союзную матрицу :

Следовательно, ==.

6)Найти ранг и базисные миноры матрицы А:

1. A=,

2. A=.

1.Вычеркнув из матрицы А нулевые второй, третий столбец и вторую строку, получим матрицу, эквивалентную заданной:

A~. Так как =26¹0, то ранг исходной матрицы равен 2.

Базисными минорами исходной матрицы являются миноры второго порядка, отличные от нуля:

, , .

2.Производя последовательно элементарные преобразования, будем иметь:

A~^C₃^+C₂~^C₁^-C₃~.

Вычеркнем нулевые первую строку и второй столбец и продолжим преобразования:

A~~^C₂-^5C_1.

Ранг последней матрицы равен 2, так как, например, =3¹0.

Следовательно, ранг исходной матрицы равен 2, а базисные миноры имеют второй порядок:

, , , , , , , , , , , , , , .

7)Выяснить, является ли система арифметических векторов линейно зависимой или линейно не зависимой.

1. {-3 1 5 2}, {-6 2 10 4},

2. {2 –3 1}, {3 –1 5},{1 –4 3},

3. {0 1 1 -1}, {1 2 0 1},{2 3 –1 3},{-1 0 2 –3}.

1. Замечаем, что =2. Отсюда имеем, что линейная комбинация l₁+l₂=0, если l₁=2, l₂=-1. Следовательно, вектора и линейно зависимы по определению.

Случаи 2. и 3. не являются тривиальными, и для их изучения будем использовать критерий линейной зависимости (независимости) векторов: Система векторов линейно зависима (независима) тогда и только тогда, когда ранг матрицы А, составленной из элементов данной системы векторов, меньше (соответственно равен) числа векторов системы.

2.Составим матрицу А, элементарными преобразованиями приведем ее к ступенчатому виду и подсчитаем ранг:

A=~^C₂^+C₁~^C₃^+C₂~^C₁^+2C₂~^C₁^«C₂~.