Лекция 2. Линейные образы в R₃ .

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Рассмотрим сферу радиуса R, с центром в точке А(а,в,с). Сфера- множество точек, отстоящих от центра на одном и том же расстоянии R. Обозначим через M(x,y,z) произвольную точку на сфере, радиуса R, тогда . Мы получим две точки:

     (1).

Возведя в квадрат обе части равенства (1), мы получим более удобную формулу:

   (2).

Равенство (2) называется уравнением сферы с центром в точке А(а,в,с) и радиуса R.

Определим теперь, что следует вообще понимать под уравнением некоторого множества. Пусть выбрана система координат. Под уравнением множества S в этой системе координат мы будем понимать выражение определения S через координаты его точек, т.е. высказывание, верное для координат точек, принадлежащих S, и неверное для координат точек, ему не принадлежащих.

Понятие алгебраической поверхности.

Определение. Алгебраической поверхностью называется множество, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида:       (3),

где все показатели степени – целые неотрицательные числа. Наибольшая из сумм:  называется степенью уравнения, а также периодом алгебраической поверхности. Это определение означает, в частности, что сфера, уравнение которой в прямоугольной системе координат имеет вид (2), является алгебраической поверхностью второго порядка.

Перейдем к рассмотрению линейных образов в пространстве R₃.

Плоскость.

1.Уравнение плоскости , проходящей через данную точку М₀(x₀,y₀,z₀), перпендикулярно данному вектору .

М(x,y,z)- текущая точка плоскости . Вектор . Для любой точки плоскости векторы  и  ортогональны, следовательно, их скалярное произведение равно 0. .    (4)

В уравнении (4) перейдём к координатной форме:

.         (5)

Уравнение (5) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

2. Общее уравнение плоскости- это уравнение 1-ой степени с неизвестными x,y,z имеет вид: Ax+By+Cz=0.      (6)

3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Пусть плоскости  принадлежат точки M₁(x₁,y₁,z₁),  M₂(x₂,y₂,z₂),  M₃(x₃,y₃,z₃),

M(x,y,z) - текущая точка плоскости, тогда векторы ,

,

 компланарны и, следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

 , или .      (7)

4. Уравнение плоскости «в отрезках»:

,   где  а,b,с – величины отрезков, отсекаемых плоскостью от начала координат на осях координат.

5. Расстояние точки от плоскости.

Дана плоскость   и точка  вне плоскости, тогда расстояние точки M₀ от плоскости  имеет вид:

 

6. Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Даны две плоскости:

      (1)

    (2)

 и  ; - нормальные векторы к соответствующим данным плоскостям.

За угол между двумя плоскостями принимается  угол между их нормальными векторами:

_.Если плоскости параллельны, то векторы  и  коллинеарны, и, следовательно, 

 - условие параллельности двух плоскостей.

Если плоскости перпендикулярны, то   - условие перпендикулярности двух плоскостей.

Прямая линяя в пространстве.

Линия в пространстве определяется как пересечение двух поверхностей, то есть задается совокупностью двух уравнений:

.

Например:

- окружность в плоскости z=   

                               

Прямую линию в пространстве можно представить как пересечение двух плоскостей, то есть совокупность двух уравнений плоскостей. Систему двух непараллельных уравнений называют общими уравнениями прямой:

.

Канонические уравнения прямой в пространстве.

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором данной прямой и обозначается: {m,n,p}.

Если известна точка М₀(x_0, y₀, z₀), прямой и направляющий вектор {m,n,p}, то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида:

,     (1)

которые называются каноническими уравнениями прямой.

Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки М₀(x₀, y₀, z₀), M₁ (x ₁ ,y₁, z₁) имеют вид:

.      (2)

Обозначив буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях, мы получим

= t,   отсюда .    (3)

Уравнения (3) есть параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(x₀,y_0, z₀), параллельно вектору {m,n,p}. В уравнениях (3)  t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр;  x, y, z - как функции от t.  При изменении t величины x, y, z  меняются так, что точка М(x,y,z) движется по данной прямой.

Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду.

Пусть прямая задана общими уравнениями:

,    (1)

где ₁{A ₁,B₁,C₁},   ₂{A₂, B₂, C₂} – нормальные векторы заданных плоскостей .

Выберем на прямой определенную точку М₀(x₀, y₀, z₀). Для этого, например, z₀  зададим произвольно, а  x₀  и  y₀  получим из системы  (1).

В качестве направляющего вектора возьмем вектор :

.

Следовательно, канонические уравнения  прямой, соответствующие  системе (1), имеют вид:

.

Угол между двумя прямыми.

За угол между двумя прямыми

 ,       ,

принимается угол между их направляющими векторами.

 Здесь ={m₁,n₁,p₁},  {m₂,n₂,p₂} – направляющие вектора данных прямых, cosj=. Условие параллельности двух прямых:      .

Условие перпендикулярности двух прямых: m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂=0.

Задачи на тему “Прямая в пространстве”.

1) Составить каноническое уравнение прямой L, проходящей через две заданные точки А(1 –2 1), В(3 1 -1).

2)              На прямой L возьмем произвольным образом точку М(x y z) и соединим ее с какой-либо известной точкой на этой прямой, например, точкой А. Образуем текущий вектор {x-1 y+2 z-1}. Вектор {2 3 -2}, лежащий на прямой L, является направляющим вектором для L.
Для любой точки М(x y z)L вектора II, следовательно, условие параллельности векторов описывает уравнение прямой L:

.                           

3) Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1 –1 2), параллельно прямой :

        На прямой  образуем текущий вектор  {x-1 y+1 z-2}. Из канонического уравнения прямой  находим направляющий вектор{5 –2 0}, здесь m=5, n=-2, p=0. Так как II, то II для любой точки М(x y z) . Используя теперь условие параллельности, получаем каноническое уравнение прямой :

.                                

4) Известны уравнения двух прямых:

:  ,:

a) Проверить, являются ли  и  параллельными.

b) Проверить, являются ли  и  перпендикулярными.

c) Найти угол  между  и .

      а) Из условия параллельности прямых имеем, II, если их направляющие вектора  и  параллельны. Координаты вектора  легко получаются из заданного канонического уравнения прямой : {-1 3 1}. Для прямой , определяемой пересечением плоскостей, направляющий вектор  находится как векторное произведение: =, где {1 –1 0}, {2 1 -5}. Вычисляем,

==5+5+3, {5 5 3}.

Так как координаты векторов  и  не пропорциональны, то условие параллельности для векторов  и  не выполняется, а значит  не параллельна .

b) Из условия перпендикулярности прямых,  , если . Так как =13, то условие перпендикулярности векторов  и  не выполняется. Стало быть,  не перпендикулярна к .    

c) Угол между прямыми найдем по формуле:

cos=соs(,)=.

Отсюда, соs=.

5) Привести к каноническому виду уравнение прямой:

.

      Найдем направляющий вектор прямой :

==-8-7-5, {-8 –7 -5}.

За точку М₀(x₀ y₀ z_o), через которую проходит искомая прямая, можно принять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью YOZ. Так как при этом x₀=0, то координаты y_0,z₀ определяются из заданного уравнения прямой, если в нем положить x=0:

.

Откуда находим z₀=, y₀= и M₀(0  ).

Итак, воспользовавшись теперь общей формулой канонического уравнения прямой, получаем:

.                              

Прямая и плоскость.

1) Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Пусть даны плоскость  (a) : Ax+By+Cz+D=0 c нормальным вектором  {A,B,C} и прямая

 с направляющим вектором  {m,n,p}.

 

 

 

 

Угол между векторами  и отличается от угла между прямой и плоскостью на ;

Cos()=,              или           sinj=.

2) Условие параллельности прямой и плоскости:

Am+Bn+Cp=0.

3) Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

.

Условие того, что прямая лежит в данной плоскости.

Пусть Ax+By+Cz+D=0 данная плоскость (a),

    (1)-параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку    М₀(x₀,y_0, z₀), параллельно вектору {m,n,p}.

Условие принадлежности прямой (1) плоскости (a) имеет вид:

.

Если прямая лежит в плоскости, то она этой плоскости параллельна и любая точка прямой удовлетворяет уравнению плоскости.

Условие того, что две прямые лежат в одной плоскости.

Пусть имеем две прямые:

  и  .

Отсюда, направляющие вектора этих прямых  ₁{m₁, n₁, p₁}. ₂{m₂, n₂, p₂} и точки М₁(x₁,y_1,z₁), M₂(x₂, y₂, z₂) на соответствующих прямых. Если прямые лежат в одной плоскости, то векторы  и ₂ компланарны. Условие того, что две прямые лежат в одной плоскости равносильно условию компланарности этих векторов: ()=0 или =0.  (2) 

Условие (2)  является также  критерием пересечения двух прямых.

Замечание. Если заданы две прямые, то они могут быть в одном из трех следующих соотношений:

1) параллельны,  ,

2) пересекаются,  =0

3) прямые (1) и (2) скрещиваются, следовательно, ()¹0. Тогда возникает вопрос об определении расстояния между скрещивающимися прямыми, как высоты параллелепипеда, построенного на векторах   

 

 

 

 

 

 

 

 

, как на сторонах:

d=.

Смешанные задачи на прямую и плоскость.

1) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку А(1 –2 3) параллельно прямым

L₁:  и L₂: .

      На искомой плоскости образуем текущий вектор {x-1 y+2 z-3}. Из канонического уравнения прямой L₁ и параметрического уравнения прямой L₂ получим координаты их направляющих векторов {3 4 -1} и {1 –3 0}. Так как II L_1, II L₂ и L₁IIα, L₂IIα, то IIα, IIα. Поскольку с векторами в пространстве можно совершать параллельный перенос, то можно считать, что  α, α.

Так как  не параллелен , и для любой точки М(x y z) три вектора ,, лежат в плоскости α, то условие (,,)=0 дает уравнение плоскости α:

.                     

2) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку А(-2 1 0) и прямую L:

.

      На искомой плоскости образуем текущий вектор {x+2 y-1 z}.

Уравнение прямой задано пересечением плоскостей, поэтому ее направляющий вектор  определяется из равенств:

==2+13+6, {2 13 6 }.

Так как II L, L, то .

На прямой L зафиксируем произвольную точку В. Координаты В найдем из системы уравнений заданной прямой, положив в них, например, X=0:

.

Решая эту систему, получим Y=4,5 ,Z=2. Таким образом, В(0 4,5 2). Соединив точки А и В, получим вектор {2 3,5 2}, принадлежащий плоскости α.

Для любой точки М(x y z)  выполняется условие компланарности векторов (,,)=0 и так как

 не параллелен , то уравнение плоскости дается равенством:

                                           

3) Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямые

L₁:  и L₂: .

        Из канонического уравнения прямой L₁ найдем координаты некоторой точки А, расположенной на L₁: А(1 0 -2) и, соединив ее с текущей точкой М(x y z), образуем текущий вектор {x-1 y z+2}.

Из уравнений прямых получим направляющие вектора {3 2 -1}, {1 –2 3}, которые, как и прямые L₁, L₂, принадлежат плоскости . Так как для любой точки М(x y z)  выполняется условие компланарности векторов (,,)=0, а  не параллелен ₂, то искомая плоскость описывается уравнением:

                                           

4) Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямые

L₁:  и L₂: .

      На искомой плоскости возьмем текущую точку М(x y z) и соединим ее с некоторой точкой А(-1 1 0) прямой L₁, координаты которой содержатся в каноническом уравнении этой прямой. Образуем текущий вектор {x+1 y-1 z}. Из уравнений прямых получим направляющие вектора { 2 3 -1}, {-4 –6 2 }, которые принадлежат плоскости . Заметим, что II, значит в составлении уравнения искомой плоскости может участвовать только один из этих векторов, например, . Отсюда возникает необходимость в том, чтобы найти еще один вектор, принадлежащий плоскости и не параллельный . Для этого на прямой L₂ возьмем некоторую точку В. Координаты этой точки получим из уравнения прямой L₂, имеем В(1 0 -3). Составим вектор{2 –1 -3}α.

Для любой точки М(x y z)  условие (,,) =0 дает уравнение искомой плоскости α:

                                          

5) Найти уравнение плоскости α, проходящей через точку А(2 –1 0), перпендикулярно прямой L:

.

           На искомой плоскости составим текущий вектор {x-2 y+1 z}.

Найдем направляющий вектор :

==-2-,  {1-2 -1}.

Для любой точки М(x y z)  вектора  и  перпендикулярны, следовательно, для них выполняется условие  =0, которое дает уравнение плоскости α.: (x-2)-2(y+1)-z=0.                      

6) Найти уравнение прямой L, проходящей через точку А(1 –3 2 ), перпендикулярно плоскости α :4x-y+2z+3=0.

        На прямой L образуем текущий вектор {x-1 y+3 z-2}.

Из общего уравнения плоскости α получим координаты ее вектора нормали {4 –1 2}.

Так как для любой точки М(x y z)L вектора II , то условие коллинеарности

представляет собой уравнение искомой прямой.                                              

7) Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую

L:  перпендикулярно плоскости β: 2x-3y+z-1=0.

      На плоскости α произвольным образом отметим точку М(x y z). Каноническое уравнение прямой L содержит координаты некоторой точки А(0 1 -2), лежащей на этой прямой. Соединив точки А и М, образуем текущий вектор  {x y-1 z+2}..

Из уравнения прямой L найдем направляющий вектор  {2 1 -3}. Так как L, L II, то . Из общего уравнения плоскости β найдем координаты вектора нормали {2 –3 1 }.Поскольку β , βα, то  .

Для любой точки М(x y z) вектора ,, компланарны. Так как не параллелен , то условие (,,)=0 порождает уравнение плоскости:

                                

8) Дана прямая L₂:  и плоскость α: x-4y+2z+3=0.

a) Проверить, являются ли L и α параллельными.

b) Проверить, являются ли L и α перпендикулярными.

c) Найти угол φ между L и α.

      a) Из заданных уравнений получим координаты направляющего вектора  {-1 5 3} прямой L и вектора нормали {1 –4 2 } плоскости.

Если, то L IIα. В нашем случае условие перпендикулярности векторов не выполняется, так как ּ=-150. Стало быть, L не параллельна α.

b) Если II, то L. В нашем случае условие параллельности векторов не выполняется, так как

. Следовательно, L не перпендикулярна α.

d) Угол между прямой и плоскостью вычислим по формуле:

sin=sin(,)=.

Отсюда sin=.                                                            

9) Найти точку пересечения прямой  и плоскости 2x+3y+3z-9=0.

      Параметрическое уравнение прямой имеет вид:

. Подставим эти значения X, Y, Z в уравнение плоскости:

4t+3(-3t+1)+3(t-2)-9=0, получим t=-6. Откуда X=-12, Y=19, Z=-8. Следовательно, точка пересечения имеет координаты (-12 19 -8).                                               

 

 

В начало

Оглавление

На главную