Аналитическая геометрия.

Предмет аналитической геометрии - это изучение геометрических образов с помощью алгебры(их положение, вид, а не размеры). Точка – исходный элемент, все остальное – совокупность точек.

Лекция 1.  Линейные образы в R2.

Понятие об уравнении линии на плоскости.

Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости, определяемую ортонормированным базисом ,    и точкой О(0,0) – началом координат. Пусть на плоскости дана какая-нибудь линяя.

Определение. Уравнением данной линии (в выбранной системе координат) называется такое уравнение F(x, y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки,  не лежащей на ней.

Пример. 1) y=x или x-y=0 уравнение биссектрисы I и II координатных углов.

2) Уравнение окружности с центром в начале координат радиуса R: x2+y2=R2  или x2+y2-R2=0.

  Произвольную точку на линии называют текущей точкой. В дальнейшем, рассматривая уравнения с двумя переменными, мы не исключаем возможности , что левая часть уравнения содержит еще и другие символы, а, b, R и т.д., но в таком случае мы будем предполагать, что они представляют собой фиксированные числа, и будем называть их постоянными параметрами уравнения. Например, в уравнении y=kx+b параметрами являются k и b, а в уравнении окружности x2+y2=R2 параметр- радиус R и координаты центра О(0,0). Составить уравнение линии (или, вообще говоря, геометрического образа), значит, исходя из свойств линии установить зависимость между координатами текущей точки и параметрами. Этот метод позволяет свести изучение линий к изучению их уравнений, т.е. задачи геометрии свести к задачам алгебры.

Основным предметом изучения в аналитической геометрии являются линии, определяемые по отношению к декартовым прямоугольным  координатам алгебраическими уравнениями. Это суть уравнения следующих видов:

Ax+By+C=0  (A2+B2¹0)                  (1)

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0            (A2+B2+C2¹0)        (2)

Ax3+Bx2y+Cxy2+Dy3+Ex2+Fxy+Gy2+Hx+Ly+K=0  (A2+B2+C2+D2¹0)      (3)

Уравнения (1), (2), (3) соответственно общие уравнения 1-ой, 2-ой, 3-ей степени.

Определение. Линяя, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется алгебраическим уравнением степени n, называется алгебраической линией n-го  порядка.

Прямая линяя на плоскости.

 Вектор {A,B} - перпендикулярный прямой, назовем нормальным вектором прямой, а вектор {m,n}, параллельный прямой, назовем направляющим вектором.

Пусть -угол между прямой и положительным направлением оси OX, угол наклона прямой, tg=k-угловой коэффициент прямой. Вектор {1, k} назовем приведенным направляющим вектором.

Типы уравнений прямой.

Название уравнения определяется названием постоянных величин, определяющих положение прямой в системе координат.

1) Уравнение прямой, проходящей через данную точку М0(x0, y0), перпендикулярно данному вектору {A,B}:

A(x-x0)+B(y-y0)=0                (1)

2) Общее уравнение прямой

Ax+By+C=0           (2),

где коэффициенты при неизвестных А, В суть координаты нормального вектора прямой.

Теорема. Всякая прямая на плоскости имеет уравнение первой степени, и всякое уравнение первой степени является уравнением некоторой прямой.

        Следствие.  a) x=a –уравнение прямой, параллельной оси OY (x=0, уравнение оси OY),

b)y=b- уравнение прямой, параллельной OX (y=0, уравнение OX),

c) y=kx- прямая, проходящая через начало координат. При переменном “k” уравнения пучка прямых, проходящих через начало координат.

3) Уравнение прямой, проходящей через данную точку М0(x0 ,y0), параллельно данному вектору{m,n}.

                 (3)

4)Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении:

y-y0=k(x-x0)             (4)

Замечание. При переменном k уравнение (4) называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку М0(x0, y0).

5) Уравнение прямой с угловым коэффициентом:    y=kx+b           (5)

Здесь    .              К виду (5) нельзя привести прямую, параллельную оси ОУ.

6) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

Замечание. Если x1=x0, то уравнение прямой x=x1; если y1=y0 , то y=y0.

Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и

перпендикулярности.

1) Пусть прямые заданы общими уравнениями:

A1x+B1y+C1=0         A 2x+B2y+C2=0 ,     

где нормальные векторы: 1{A1,B1} и 2{A2,B2}, j-угол между векторами 1 и 2. Тогда

cosj=

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности их нормальных векторов: 

Условие перпендикулярности прямых – ортогональность векторов 1 и 2: A1A2+B1B2=0.

2) Пусть прямые заданы с угловыми коэффициентами k1, k2:

y=k1x+b1          y=k2x+b2 ,

где k1=tg      k2=tg . Тогда tgq = .                 (1)

За k1 принимаем угловой коэффициент той прямой, которую надо вращать против хода часовой стрелки, чтобы обойти угол q до совмещения со второй прямой.

Условие параллельности прямых: k1=k2

Условие перпендикулярности прямых: k2=.

Расстояние точки  M 0 (x0, y0 ) от прямой Ax+By+C=0 определяется формулой

d=.

Задачи на тему “Прямая на плоскости”.

I Даны точки A(-1 2), B(0 –2), C(2 4).

  Найти:

1) уравнение прямой AB

2) уравнение прямой L1, проходящей через точку С, параллельно прямой AB;

3) уравнение прямой L2, проходящей через точку С, перпендикулярно прямой AB;

4) уравнение медианы AD треугольника ABC;

5) уравнение высоты BH;

6) длину высоты BH.

*    1) На прямой АВ произвольным образом возьмем текущую точку М(x,y) и соединим ее с какой-нибудь известной точкой на этой прямой, например точкой А. Составим текущий вектор {x+1 y-2}.

Вектор {1 -4} расположен параллельно текущему вектору . Следовательно, из условия параллельности, соответствующие координаты этих двух векторов должны быть пропорциональны. Таким образом, получаем уравнение прямой АВ:

, или 4x+y+2=0.

2) На прямой L1 образуем текущий вектор {x-2 y-4}.

Так как II, {1 -4}, то в силу условия параллельности векторов, получим уравнение прямой L1:

; или 4x+y-12=0.

3) На прямой L2 образуем текущий вектор {x-2 y-4}.

Так как , {1 -4}, то в силу условия перпендикулярности двух векторов, =0, получим уравнение прямой L2:

1(x-2)-4(y-4)=0, или x-4y+14=0.

4) На медиане AD образуем текущий вектор {x+1 y-2}.

Найдем координаты точки D- середины стороны ВС:

XD==1, YD==1, D=(1 1).

Образуем вектор {2 -1},  расположенный параллельно текущему вектору . Тогда, в силу условия параллельности векторов, получим уравнение медианы AD:

, или x+2y-3=0.

5) На высоте ВН возьмем текущую точку М(x y) и образуем текущий вектор {x-0 y+2}.

Так как , где {3 2}, то условие перпендикулярности этих векторов порождает уравнение прямой ВН:

3(x-0)+(y+2)=0, или 3x+2y+4=0.

6) Заметим, что длина высоты ВН равна расстоянию от точки В до прямой АС. Чтобы воспользоваться соответствующей формулой расстояния, сначала найдем уравнение прямой АС:

На стороне АС образуем текущий вектор {x+1 y-2}.

Так как II, где {3 2}, то уравнение стороны АС:

,  или в общем виде 2x-3y+8=0.

Теперь, подставляя известные данные в формулу расстояния от точки до прямой, имеем:

d=.                                        

* Дана прямая L1: x-2y-3=0 и точка А(-1 2).

Найти:

1) для прямой L1 уравнение с угловым коэффициентом, угловой коэффициент k, отрезок, отсекаемый по оси ординат;

2) нормаль  и направляющий вектор прямой L1;

3) каноническое уравнение прямой L1;

4) уравнение прямой L2, параллельной L1 и проходящей через точку А;

5) уравнение прямой L2, перпендикулярной L1 и проходящей через точку А;

*   1) Разрешив уравнение прямой относительно Y , получаем уравнение с угловым коэффициентом:

L1: y=0,5x-1,5. Отсюда k=0,5, b=-1,5.

2) Коэффициенты при переменных X,Y, в общем уравнении прямой L1, есть координаты нормального вектора, то есть {1 -2}.

Поскольку направляющий вектор{l m} прямой L1. –это любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой, то выполняется условие:                A                   M(x y)       B

=0, где l2+m20.

Дадим величине какое-нибудь значение. Пусть, например, m=1, тогда

l-2=0, то есть l=2. Получаем направляющий вектор {2 1}.

3) Для составления канонического уравнения прямой L1 нам необходимо знать точку М0, лежащую на L1, и направляющий вектор . Так как координаты вектора ={2 1} были получены нами ранее в задаче 2), осталось найти координаты точки М0.

Зафиксируем произвольное значение, например, Y=0 и подставим его в уравнение прямой L1. Получим x=3. Следовательно, М0(3 0). Воспользовавшись теперь каноническим уравнением прямой, находим:

.

4) Прежде всего заметим, что точка А не лежит на прямой L1, поскольку ее координаты не удовлетворяют уравнению этой прямой. Поэтому можно построить прямую L2, проходящую через А параллельно L1, но не совпадающую с L1:

Пусть М(x y)- текущая точка прямой L2. Так как текущий вектор {x+1 y-2} перпендикулярен вектору нормали {1 -2} прямой L1, то =0. Отсюда получаем уравнение прямой L2:

1(x+1)-2(y-2)=0.

5) Пусть {x+1 y-2}- текущий вектор прямой L3. Из условия параллельностии нормали {1 -2} прямой L1, получаем уравнение L3:

  .             

III Проверить, являются ли прямые

L1: 2x+y-4=0, L1;

a)параллельными;

b)перпендикулярными;

c)найти угол  между L1 и L2.

*             a) Прямые L1 и L2 будут параллельны, если их нормали II2. Из общего уравнения прямой L1 найдем координаты нормали {2 1}. Чтобы найти нормаль 2 приведем уравнение прямой L2 к общему виду: 3x+y+5=0. Отсюда 2={3 1}.

Поскольку условие параллельности векторов  и 2 не выполняется, так как , стало быть L1L2.

b) Прямые L1 и L2 будут перпендикулярны, если 2. Но условие перпендикулярности для векторов  и 2 не выполняется, так как =70. Следовательно, L1 не перпендикулярна L2.

d)Угол между прямыми равен углу между их нормалями. Поэтому, используя формулу угла между двумя векторами, получим

cos=соs(,2)=.

Так как =7, , , то cos=.

Замечания: 1. Если две прямые L1 и L2 заданы в каноническом виде, то угол между ними можно рассматривать как угол между их направляющими векторами , а значит,

cos=соs(,)=.

2. Если прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом, то угол между ними можно вычислить по формуле (1).