Лабораторная работа по САУ №3
«Идентификация многомерных объектов»




Цель работы.Получить модель двумерного объекта методом планирования эксперимента.
Краткая теория.Для описания участка поверхности отклика многомерного объекта со значительной кривизной используются полиномы второго порядка вида:

Y(x1,x2)=b0+b1x1+b2x2+b12x1x2+b11x12b22x22 (1)


При проведении эксперимента входные воздействия должны быть независимы. В процессе эксперимента каждому входному воздействию xi задаются различные уровни (значения). Если во время эксперимента перебираются все возможные неповторяющиеся сочетания уровней для п независимых управляющих воздействий (факторов), то он называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). При одинаковом числе уровней - D, число точек спектра плана ПФЭ равно

N=Dn (2)

Для определения значений коэффициентов можно воспользоваться методом минимума суммы квадратов. Более просто получить результат, если считать, что минимум отклонений имеет место при совпадении результатов расчётной модели и эксперимента в точках проведения опытов. В этом случае коэффициенты bi должны удовлетворять системе уравнений вида:
Y = X * В (3)


где Y – матрица-столбец экспериментальных значений с числом элементов N, равным числу опытов;
В – матрица – столбец коэффициентов bi с числом элементов равным числу членов полинома m (для полинома второго порядка m = (n+1)*(n+2)/2);
X – матрица входных воздействий размером N x m.
Матрицу В можно найти по формуле:

B=(XTX)-1XTY=C-1XTY (4)


Если подобрать значения xi таким образом, что матрица С будет диагональной, то система (4) разобьётся на m независимых уравнений, каждое из которых будет включать лишь один неизвестный коэффициент bi
Для того, чтобы матрицу С сделать диагональной переходят к относительным величинам входных переменных:



 (5)


Где
a xi2 заменяются т.н. центрированными квадратичными функциями. Тогда матрица Х будет иметь вид:

x0
x1
x2
...
xn
x1x2
...
xn-1xn
x12
x22
...
xn2
1
-1
-1
...
-1
1
...
1
1
1
...
1
1
1
-1
...
-1
-1
...
1
1
1
...
1
1
-1
1
...
-1
-1
...
1
1
1
...
1
1
1
1
...
-1
1
...
1
1
1
...
1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1
1
1
...
1
1
...
1
a2
...
1
-a
0
...
0
0
...
0
a2
...
1
a
0
...
0
0
...
0
a2
...
1
0
-a
...
0
0
...
0
a2
...
1
0
a
...
0
0
...
0
...
a2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1
0
0
...
a
0
...
0
...
1
0
0
...
0
0
...
0
...

Тогда коэффициенты определяются по формулам:

(6)
Для полинома 2-й степени, описывающего двумерный объект: а=1; =0,66667; k0=0,11111; k1=0,16667; k2=0,25; k3=0,5
Задание.Получить математическую модель поверхности отклика