Лабораторная работа по САУ №2
«Идентификация одномерных детерминированных объектов»

1. Цель работы.получить математические модели одномерного детерминированного объекта в виде полиномов различной степени по результатам эксперимента, используя метод минимума суммы квадратов отклонений.

   Краткая теория.Под идентификацией обычно понимают экспериментальные методы получения математической модели объекта. Любой объект рассматривается как система входных (х) и выходных (у) сигналов. Если объект имеет 1 вход и 1 выход (рис.1), то он называется одномерным. Кроме входных сигналов на объект могут
   
   
   
   действовать различные случайные воздействия (р), влияние которых на объект не поддаётся точному учёту. Если случайные воздействия отсутствуют, то объект называется детерминированным. В этом случае для экспериментального получения математической модели объекта - у=f(х) - используют метод минимума суммы квадратов отклонений.

   Выбирают m значений входных воздействий x_i, разбивающих область идентификации x_min...x_max на m-1 равных интервалов. Подают эти воздействия на вход объекта и определяют (измеряют) соответствующие им значения выходных воздействий у_эi. Задаются моделью. Для таких объектов модель наиболее часто описывается полиномом вида:
   
   

   yp=a0+a1x+a2x2+...+anxn

   (1)

   
   

   n – порядок полинома.

   Задачей идентификации, в данном случае, является определение численных значений коэффициентов a₀...a_n, при которых модель будет оптимальной. Оптимальной считается модель, у которой сумма квадратов отклонений расчётных y_p и экспериментальных y_э значений будет минимальной, т.е. минимизируется функционал:

   (2)

   
   
   

   где m – число опытов (измерений, точек отсчёта),

   y_эi– экспериментальное значение,

   y_рi– расчётное значение (по формуле (1)).

   Для определения коэффициентов модели, удовлетворяющих условию (2), составляют систему уравнений:
   
   

   (3)

   
   
   

   Эту систему можно записать в матричном виде:

   X * A = Y,

   (4)

   
   
   

   Где A^Т= [a₀; a₁; ...; a_n]– матрица-столбец искомых коэффициентов,

   Коэффициенты матриц Х и Y определяются по формулам:
   
   

   (5)

   
   
   

   Тогда матрицу искомых коэффициентов можно найти по формуле:
   
   

   X-1 * A = Y,

   (4)

   
   
   

   Задание.Экспериментальная АЧХ фильтра в интервале частот f₁...f₂...f₃приведена на рисунке. Для программной реализации фильтра на микроконтроллере необходимо получить аналитическую зависимость коэффициента передачи от частоты в виде полиномов согласно (1).

1	fi
	Kэi
	Kpi
2	fi
	Kэi
	Kpi
3	fi
	Kэi
	Kpi
4	fi
	Kэi
	Kpi

3. 1. Получить модель в виде полинома 3-ей степени по 5-ти точкам отсчёта. Значения f_i и K_эi занести в таблицу. По полученной модели найти расчётные значения коэффициента передачи К в тех же точках отсчёта и занести в таблицу.

   2. Выполнить задание п.3.1 по 10-ти точкам.

   3. Получить модель в виде полинома 4-ой степени.

   4. Получить модель в виде совокупности 2-х полиномов 3-ей степени, один из которых описывает АЧХ в области f₁...f₂, другой – f₂...f₃

   5. Посчитать для каждой модели F согласно (2) по 10-ти одинаковым точкам.

   6. Построить расчётные АЧХ.

Вывод.Ответьте на вопросы: Как зависит точность модели от порядка полинома, количества точек измерений и интервалов идентификации (подумайте почему) в данных опытых? Почему в качестве модели выбирается полином? Можно ли выбрать модель какого-нибудь другого вида? Если да, то попробуйте получить выражение для определения X_k,p, Y_k для модели вида:

y=e^{a₀+a₁x+...+a_nxn}