1.1.1. Распределение Стьюдента (t-критерий).

Распределение было получено Госсетом (псевдоним Стьюдента) в 1908 г. Зависит от объема выборки N или числа степеней свободы , с которым определена выборочная дисперсия (среднее квадратическое отклонение (СКО) выборки S), и от заданной вероятности ответа, определяемой параметром уровня значимости q . Формула критерия:

где а — генеральное среднее исследуемой случайной величины — выборочное математическое ожидание X.

Распределение симметрично относительно начала координат, т. е. .

Более полные таблицы квантилей распределения Стьюдента для уровня значимости содержатся в [1].

Таблица 1

Квантили распределения Стьюдента при q=0,05

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	30
	12,71	4,30	3,18	2,78	2,57	2,45	2,37	2,31	2,26	2,23	2,09	2,04	1,96

Распределение Стьюдента дает возможность находить генеральное среднее или проверять статистические гипотезы при очень малых выборках.

Пример 1. Известны три значения нормально распределенной случайной величины X: Требуется оценить генеральное среднее с вероятностью р = 0,95 (задача первого типа). Определим выборочное (N = 3) математическое ожидание

Определим выборочное СКО при f = N–1=2:

Запишем выражение для t в соответствии с (1):

По табл. 1 определим квантильные границы и запишем неравенство

Решив неравенство относительно а, получим с доверительной вероятностью р = 0,95 9,0 < а < 10,8.

Пример 2. Проверить гипотезу, состоящую в том, что нормально распределенная случайная величина Х имеет генеральное математическое ожидание а = 10 на основании результатов двух испытаний: (задача второго типа).

По результатам испытаний определяем =8,5 и s = 0,57. Вычисляем по (1) значение критерия Стьюдента t: Выбираем уровень значимости q = 0,05 и по табл. 1 находим для f=N–1=1 границы критических областей гипотезы ,

Гипотеза не отвергается на уровне значимости q=0,05, поскольку t = –3,71 лежит вне критических областей. Отметим, что очень малая информация (N = 2) и низкий уровень значимости не дают оснований отвергнуть плохую на взгляд гипотезу. Если бы, например, те же результаты ( = 8,5 и s = 0,57) были получены при N = 4 (f = 3), то, как легко видеть, гипотезу следовало отвергнуть на том же уровне значимости. При выборе более жесткого уровня значимости, т. е. гипотеза также должна быть отвергнута.