Задачи для зачетного занятия

Задача 1.

При 25 проверках октанового числа одного и того же сорта бензина получены следующие результаты:
38   38   44   42   43  
41   41   42   45   37  
41   44   41   41   40  
42   45   40   44   39  
39   41   40   43   41  
Определите среднее значение и среднее квадратичное отклонение в среде MathCAD.

Задача 2.

Ниже приводятся данные о пределе текучести для 100 образцов из титанового сплава.
Постройте гистограмму для этих данных. Определите ‾x и s в среде MathCAD.
150   154   148   149   160   147   158   164   153   135
152   150   166   158   138   151   147   136   160   160
163   141   148   139   153   171   141   143   156   164
161   159   149   146   156   152   130   137   142   152
139   153   154   136   166   169   147   152   156   154
166   135   158   155   138   136   136   150   159   173
142   144   150   145   145   146   157   125   144   132
156   148   153   151   150   158   168   139   139   164
154   150   151   154   138   154   158   134   146   154
160   148   138   141   158   156   167   155   144   147

Задача 3.

Приведенные ниже данные характеризуют коррозионную стойкость керамических плит при испытаниях на долговечность.
Данные представляют уменьшение веса плит в миллиграммах (после преобразования). В системе MathCAD
а) Постройте гистограмму для этих данных.
б) Определите среднее значение и среднее квадратичное отклонение.

Задача 4.

Малая партия резины, отобранная для испытания, содержит 100 образцов.
Если в этой партии есть два дефектных образца, то какова вероятность, что они попадут в выборку объема 20?
Предполагается, что отбор образцов производится независимо.

Задача 5.

Из партии, содержащей 80 образцов, из которых три дефектные, отбирается пять образцов.
Считая, что - случайная величина, обозначающая число дефектных образцов в выборке, постройте таблицу, показывающую распределение .

Задача 6.

В относительно новом процессе все еще получается 10% брака.
В выборку отбирается восемь образцов.
а) Какова вероятность не обнаружить брака?
б) Какова вероятность получить более чем один бракованный образец?
в) Каково ожидаемое число дефектных образцов в выборке из 30 независимых образцов?
г) Можете ли Вы сказать, что 0 дефектов в выборке из 30 образцов – неожиданное событие?

Задача 7.

Вероятность того, что потребуется сверхнормативная сборка, равна 0,035.
а) Если в смену производится 200 сборок, то как много случаев сверхнормативной сборки можно ожидать? (Предполагается независимость сборок.)
б) Будет ли появление 11 или более таких случаев неожиданностью?

Задача 8.

Из партии объема 80 взята выборка объема 20.
а) Пусть в партии четыре дефектных образца; найдите вероятность отсутствия брака в выборке.
б) Какое среднее число дефектных изделий можно ожидать в такой выборке?

Задача 9.

Вероятность получения качественного листа при нанесении на него покрытия равна 0,90.
а) Сколько бракованных листов следует ожидать в выборке объема 50?
б) Какова вероятность того, что в выборке объема 50 окажется более пяти плохих листов?
в) Какова вероятность двух или более дефектных образцов в выборке объема 20, если средняя доля дефектных образцов равна 0,12?

Задача 10.

Фирма провела полевые испытания шести образцов одинакового оборудования и не обнаружила среди них неисправных.
Как часто можно ожидать, что в выборке объема 6 будут отсутствовать неисправные образцы, если
а) ожидаемая доля неисправных образцов равна 5%?
б) ожидаемая доля неисправных образцов равна 10%?

Задача 11.

Фирма провела кампанию по уменьшению числа несчастных случаев.
Среднее число таких случаев за предыдущие годы было 20.
В год проведения указанной кампании их число оказалось равным 16.
Можете ли вы сказать, что это произошло под влиянием неслучайных причин?
Оцените вероятность 16 или менее несчастных случаев, полагая, что условия не изменились.

Задача 12.

Изделия типа А должны подгоняться к изделиям типа В.
Предполагается, что критический внешний размер А распределен нормально со средним 4,30 дюйма и средним квадратическим отклонением 0,04 дюйма.
Изделия В имеют критический внутренний размер, который считается распределенным нормально со средним 4,36 и средним квадратическим отклонением 0,04 дюйма.
а) Какова ожидаемая доля случаев, когда изделия А и В, выбранные независимо и случайно, окажутся непригодными друг для друга?
б) Надо ли считать необычным два случая несовместимости из 20?

Задача 13.

Рычаг собирается из пяти секций.
Исследование отдельных секций показало, что средняя длина крайних секций составляет 1,001 дюйма, а трех средних 1,999 дюйма.
Средние квадратические отклонения длин всех секций равны 0,004 дюйма.
Если осуществить случайную сборку и отдельные секции предполагаются распределенными нормально, то
а) Какова средняя длина сборки,
б) каково среднее квадратическое отклонение длины сборки,
в) какова вероятность того, что длина рычага превысит 8,002 дюйма?

Задача 14.

В партии, содержащей 12 изделий, ужесточенным контролем выявляются скрытые дефекты.
Ниже приведена таблица, показывающая количество дефектов в каждом изделии.

Считая, что Х - случайная величина, обозначающая число выявленных дефектов, построить гистограмму распределения величины Х.

Задача 15.

Из партии, содержащей 80 образцов, из которых три дефектные, отбирается пять образцов. Считая, что X - случайная величина, обозначающая число дефектных образцов в выборке, постройте таблицу, показывающую распределение X.

Задача 16.

Для отладки технологии отделочной обработки деталей с целью получения однородной заданной шероховатости была обработана опытная деталь.
Измеряя на профилометре шероховатость обработанной поверхности, лаборант получил следующие результаты:
3.2   3.8   2.7   4.0   3.8   3.5   3.1   2.9   3.8   3.5   3.8,  
но сделанные измерения не успел обработать.
Когда по телефону его попросили срочно сообщить характеристики полученной поверхности, он тут же назвал две цифры, для получения которых выполнил одно арифметическое действие.
Какие характеристики он назвал, и каковы были их значения?

Задача 17.

Для производства втулок с внутренним диаметром 35 мм требуется операция внутреннего шлифования.
Допустимое отклонение на этой операции +-0.04. Известно, что внутренний диаметр втулок после шлифования распределен нормально .
Если номинальный диаметр в среднем выдерживается, каково ожидаемое количество дефектных втулок в выборке объемом 100?
Какова вероятность получить в этой выборке менее 4 дефектных образцов?

Задача 18.

На заводе микроэлектронного оборудования алюминиевую проволоку очень малого диаметра сваривают ультразвуковым методом.
Для определения прочности полученного соединения ряд образцов испытали на разрыв; силы, при которых происходит разрыв, измеряли в граммах.
Приведенные ниже данные сгруппированы в пределах пятиграммовых интервалов.
Они представляют собой силы связи сварного соединения, измеренные на 1000 образцов, выполненные на одном измерительном устройстве.

Постройте гистограмму и подберите соответствующее распределение.

Задача 19.

В лаборатории контроля качества авиационного оборудования для выявления неисправного блока проводят так называемые «термические упражнения»,
состоящие в одновременном воздействии вибрации и циклического изменения температуры.
Приведенные ниже данные представляют собой время, прошедшее до отказа 90 блоков оборудования, подвергшихся описанным испытаниям.

Постройте гистограмму и подберите соответствующее распределение.

Задача 20.

Следующие цифры представляют собой значения твердости образцов сплава в условных единицах:
12.1, 13.7, 11.0, 11.6, 11.9, 12.9, 13.4, 12.2, 12.5, 11.9, 11.5, 12.9, 13.0, 10.5.
Проверьте гипотезу о том, что среднее значение твердости равно 12.
Определите доверительные интервалы для среднего, дисперсии.

Задача 21.

Следующие цифры представляют собой значения твердости образцов сплава в условных единицах:
12.1, 13.7, 11.0, 11.6, 11.9, 12.9, 13.4, 12.2, 12.5, 11.9, 11.5, 12.9, 13.0, 10.5.
Исключите возможные выбросы.

Задача 22.

При подготовке прибора к эксперименту лаборант строит его тарировочный график.
Для этого он снимает зависимость показания прибора от приложенной нагрузки:

Считая тарировочную зависимость линейной, определите соответствующие параметры регрессии.

Задача 23.

При исследовании режущих свойств нового инструментального материала лаборант хочет построить зависимость силы резания от подачи в форме F=K*S^α .
В эксперименте им получены следующие данные:

Определите параметры регрессионной модели для силы резания.

Задача 24.

Модель процесса описывается функцией ƒ(x,y)=cos²(x+y²) . Отыскивается локальный максимум этой функции, ближайший к точке (0,0). Выполнить первый шаг длиной 0.1 из исходной точки в направлении искомого максимума (Воспользоваться градиентным методом).

Задача 25.

Для функции , заданной на отрезке (0; 1), вычислить ее норму по Гауссу и Чебышеву.