Определение истинной величины расстояний и углов

Расстояние от точки до плоскости измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Так как перпендикуляр к проецирующей плоскости есть линия уровня, то необходимо преобразовать чертеж. Заданная плоскость должна занять положение проецирующей плоскости. На рис. 47 построены проекции перпендикуляра МК, отрезок которого определяет расстояние от точки М до плоскости Q (ABC):

1) систему плоскостей П₁/П₂ заменяем на систему плоскостей П₁/П₄ так, что П₄_|_Q, а следовательно П₁ /П₄ _|_ h и h будет проецироваться на плоскость П₄ в точку и совпадать с A₄ и 1₄ (A₄ ≡ h ₄ ≡ 1₄);

2) из М4 опускаем перпендикуляр на плоскость заданного треугольника и так как М₄K₄ _|_Q₄ , М₄K₄ - истинная величина расстояний от точки М до плоскости Q;

3) определяем положение горизонтальной проекции точки К из условия, что M₁K₁_|_K₄K₁ или || П₁/ П₄;

4) фронтальная проекция точки K₂ построена с помощью высоты точки К, измеренной на плоскости П₄.

Другой способ решения задачи заключается в следующем (рис.48): плоскость треугольника DEK и точка В вращением вокруг оси, перпендикулярной одной из плоскостей проекций, преобразуются в положение, когда плоскость становится перпендикулярной к одной из плоскостей проекций. В этом случае искомое расстояние измеряется длиной отрезка между новой проекцией точки В и новой проекцией плоскости треугольника DEK. Ось вращения рекомендуется брать проходящей через одну из вершин плоской фигуры (в треугольнике DEK через точку Е).

Определить расстояние от точки до плоскости можно и другим способом. Например, через точку В (рис. 49) проводится прямая а перпендикулярно плоскости треугольника DEK , так что а₁_|_ h₁ и а₂_|_ f₃ , где h и f - прямые уровня этой плоскости: горизонталь h, фронталь f. Затем находится точка пересечения (встречи) прямой а и плоскости треугольника DEK – точка S. После чего надо определить натуральную величину отрезка ВS (любым известным способом), которая и является искомым расстоянием.

Расстояние от прямой до плоскости, параллельной прямой, измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость. Значит, достаточно плоскость общего положения преобразовать в положение проецирующей плоскости, затем взять на заданной прямой точку, и решение задачи будет сведено к определению расстояния от точки до плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями измеряется отрезком перпендикуляра между ними, который легко строится, если плоскости займут проецирующее положение в новой системе плоскостей проекций.

Угол α между прямой l и плоскостью Ω может быть определен через дополнительный угол β между заданной прямой l и перпендикуляром п к данной плоскости, проведенной из любой точки прямой (рис. 50). Угол β дополняет искомый угол α до 90°. Определив истинную величину угла β путем Рис. 50. вращения вокруг прямой уровня плоскости угла, образованного прямой l и перпендикуляром n, остается дополнить его до прямого угла. Этот дополнительный угол и даст истинную величину угла α между прямой l и плоскостью Ω.

Истинная величина двугранного угла между двумя плоскостями может быть определена, когда ребро угла будет занимать положение проецирующей прямой. На рис.51 задача решена путем замены плоскости проекций с целью преобразования ребра двугранного угла АВ в проецирующую прямую.

Если ребро двугранного угла не задано, то угол между двумя плоскостями можно определить как угол между двумя перпендикулярами n₁ и n₂, проведенными к данным плоскостям из произвольной точки М пространства (рис. 52). В плоскости этих перпендикуляров при точке М получаем два плоских угла α и β , которые соответственно равны линейным углам двух смежных углов Рис. 52

(двугранных), образованных плоскостями Р и Q. Определив истинную величину углов между перпендикулярными n₁ и n₂ путем вращения вокруг прямой уровня, тем самым определим и линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями Р и Q.

Истинная величина двугранного угла между двумя плоскостями может быть определена, когда ребро угла будет занимать положение проецирующей прямой. На рис.51 задача решена путем замены плоскости проекций с целью преобразования ребра двугранного угла АВ в проецирующую прямую.

Если ребро двугранного угла не задано, то угол между двумя плоскостями можно определить как угол между двумя перпендикулярами n1 и n2, проведенными к данным плоскостям из произвольной точки М пространства (рис. 52). В плоскости этих перпендикуляров при точке М получаем два плоских угла и , которые соответственно равны линейным углам двух смежных углов

(двугранных), образованных плоскостями Р и Q. Определив истинную величину углов между перпендикулярными n1 и n2 путем вращения вокруг прямой уровня, тем самым определим и линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями Р и Q.